Студопедия — Векторний і координатний запис формули Стокса
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Векторний і координатний запис формули Стокса






Нехай замкнена кусково-гладка крива Г являється межею кусково-гладкої поверхні S. Нехай поверхня S міститься в деякій трьохмірній області G R3, у всіх точках якої визначені і неперервні функції трьох змінних P, Q, R, а також їх частинні похідні. Тоді криволінійний інтеграл другого роду по кривій Г пов’язаний з поверхневим інтегралом другого роду по поверхні S формулою Стокса:

при чому напрямок контуру Г (в криволінійному інтегралі) і вибір додатного напрямку нормалі (в поверхневому інтегралі) узгоджені за «правилом буравчика» - додатною рахується та сторона поверхні, на якій додатній напрямок контуру відповідає руху проти часової стрілки (див мал.1).

Рис.1. Узгодження орієнтації в формулі Стокса

Не важко побачити, що у випадку, коли крива Г лежить в площині xOy, формула Стокса переходить в відому формулу Гріна, яка зв’язує криволінійний інтеграл першого роду по плоскій кривій з подвійним інтегралом по області, обмеженій даною кривою (див. рис.2).

Рис.2. Обхід границі області в формулі Гріна

Загальний випадок формули Стокса формально виходить з формули Гріна циклічною перестановкою координат:

x→y→z→x, P→Q→R→P

Нехай - одиничний вектор зовнішньої нормалі до поверхні S. Тоді

де і - кути, які утворює цей вектор з координатними осями (косинуси цих кутів називають «направляючими косинусами»).

Рис.3. Направляючі косинуси нормалі

 

Оскільки зв'язок між поверхневими інтегралами першого і другого роду задається формулою

,

Формулу Стокса можна переписати у вигляді (рис.3.):

 

При знаходженні визначника третього порядку під «множенням» знака диференціювання (наприклад, ) на функцію підрозумовується знаходження відповідної частинної похідної.

Розглянемо вектор , координатами якого є величини P, Q, і R:

.

Не важко побачити, що під знаком поверхневого інтеграла першого роду стоїть скалярний добуток вектора на вектор

,

який називається ротором вектора (позначається rot ). Якщо ввести формальний вектор «набла» рівністю

,

то ротор можна формально представити, як векторний добуток вектора «набла» на вектор F:

.

Позначимо радіус-вектор довільної точки простору . Відомо, що координати радіус-вектора є координатами точки, на яку він вказує:

.

Введемо вектор елементарного переміщення

,

тоді формулу Стокса можна записати у векторній формі:

Криволінійний інтеграл по замкнутому контуру називається циркуляцією векторного поля, поверхневий інтеграл другого роду означає потік через поверхню. Отже, формула Стокса, допускає наступне словесне формулювання:

циркуляція векторного поля по замкнутому контуру дорівнює потоку його ротора через поверхню, що стягується цим контуром.







Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 408. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Классификация холодных блюд и закусок. Урок №2 Тема: Холодные блюда и закуски. Значение холодных блюд и закусок. Классификация холодных блюд и закусок. Кулинарная обработка продуктов...

ТЕРМОДИНАМИКА БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ. 1. Особенности термодинамического метода изучения биологических систем. Основные понятия термодинамики. Термодинамикой называется раздел физики...

Травматическая окклюзия и ее клинические признаки При пародонтите и парадонтозе резистентность тканей пародонта падает...

Метод Фольгарда (роданометрия или тиоцианатометрия) Метод Фольгарда основан на применении в качестве осадителя титрованного раствора, содержащего роданид-ионы SCN...

Потенциометрия. Потенциометрическое определение рН растворов Потенциометрия - это электрохимический метод иссле­дования и анализа веществ, основанный на зависимости равновесного электродного потенциала Е от активности (концентрации) определяемого вещества в исследуемом рас­творе...

Гальванического элемента При контакте двух любых фаз на границе их раздела возникает двойной электрический слой (ДЭС), состоящий из равных по величине, но противоположных по знаку электрических зарядов...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия