Выпуклость функции

 

Опр.: График функции имеет на интервале выпуклость вверх (вниз), если на этом интервале график расположен не выше (не ниже) касательной к графику функции, проведённой в любой точке этого интервала.

 

Теорема (достаточное условие выпуклости). Если вторая производная дважды дифференцируемой функции положительна (отрицательна) внутри некоторого промежутка Х, то функция выпукла вниз (вверх) на этом промежутке.

 

Опр.: Точка называется точкой перегиба графика функции , если в точке М график имеет касательную и существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции имеет разные направления выпуклости.

В точке перегиба касательная пересекает график функции, т.к. он переходит (перегибается) с одной стороны касательной на другую.

 

Теорема (необходимое условие существования точки перегиба). Если в точке график функции имеет точку перегиба, а сама функция имеет непрерывную вторую производную, тогда в точке равна нулю, т.е.

= 0.

 

Опр.: Точки графика функции , в которых вторая производная равна нулю или не существует, называются критическими точками 2-го рода.

 

Теорема (достаточное условие существования точки перегиба). Если в некоторой окрестности точки вторая производная функции имеет разные знаки слева и справа от , то график функции имеет перегиб в точке .

 

Схема исследования функции на выпуклость и точки перегиба:

1). Найдите вторую производную .

2). Найдите критические точки 2-го рода функции, в которых вторая производная равна нулю или не существует.

3). Исследуйте знак второй производной слева и справа от каждой критической точки и сделайте вывод об интервалах выпуклости и наличии точек перегиба.

4). Найдите значения функции в точках перегиба.

 

Пример: Найти промежутки выпуклости и точки перегиба функции

f (x) = x ³ – 3 x ² + 1.

Решение: 1). Найдём вторую производную

.

2). Найдём критические точки 2-го рода: x = 1.

3). Исследуем знак второй производной.

< 0 при на интервале кривая выпукла вверх;

> 0 при на интервале кривая выпукла вниз (вогнута). Точка х = 1 является точкой перегиба.

4). Найдём значение функции в точке перегиба: f (1) = -1;

(1; -1) – координаты точки перегиба (рис.1).

 

Рис. 1. График функции f (x) = x ³ – 3 x ² + 1.