V. КРАТКИЕ ВЫВОДЫ

Результаты осуществленного нами логического анализа могут быть разбиты на две группы. В первую группу входят результаты, характеризующие происхождение и развитие

______________

¹ Так мыслилось получение доказательств в 1968 году, когда было заверщено данное исследование Исследование «Начал» Евклида и, в. частности, геометрических доказательств (а также других типов наук) было продолжено в последующие годы Результат этих исследований см Розан Н. М. Специфика и формирование естественных, технических и гуманитарных иаук Красноярск, 1989.

­ Конец страницы 301 ­

¯ Начало страницы 302 ¯

предмета геометрии, во вторую — основывающиеся на них требования к последовательности и строению содержаний в учебном предмете геометрии.

1. Логический анализ, осуществленный выше, позволяет сделать некоторые заключения о происхождении предмета геометрии как об одном из возможных вариантов происхождения научных предметов.

Большинство современных предметов математики возникают внутри уже сложившихся и развернутых предметов, это определяет их строение и дальнейший путь развития. Поэтому возникающие таким образом предметы уже на первом этапе имеют сложное строение и сложные взаимосвязи с другими предметами математики.

Однако первые предметы математики строились иначе. Они возникли и сформировались в связи с разрешением затруднений в производственной деятельности.

Иногда затруднения в производстве требуют построения специфических знаковых средств, которые непосредственно обслуживают производство. Такие знаковые средства затем в течение длительного времени развертываются в целостный предмет. Подобным путем, как мы показали, развивалась, в частности, геометрия.

Производственная ситуация, в которой могут возникнуть новые знаковые средства, имеет свои особенности. Это определяет, в частности, и закономерности логического анализа этих знаковых средств. Так, производственная деятельность выступает как деятельность по решению некоторой производственной задачи. Поэтому в логическом анализе должны быть четко определены задачи, продукт, который нужно получить в этой деятельности, объект, из которого он может быть получен, орудийные и знаковые средства, которые при этом используются. Кроме того, затруднения, возникающие в деятельности, должны быть осознаны как ситуации разрыва, т. е. как невозможность функционирования деятельности, как результат разрушения определенных элементов или связей в деятельности.

В этих случаях затруднения могут быть сняты за счет введения особых (семиотических) объектов, которые заменяют разрушающийся элемент, и операций, осуществляемых с ними.

Последующая трансляция употреблений этих объектов, как замещающих разрушенные объекты, превращает их в знаковые образования, имеющие определенное содержание,

­ Конец страницы 302 ­

¯ Начало страницы 303 ¯

для которого сами замещающие объекты служат лишь знаковой формой. Операции же с замещающими объектами превращаются в операции со знаками, т. е. в операции, имеющие определенный смысл и интерпретацию. Именно таким образом возникли рисунки с числами как изображения полей.

1.1 При построении учебного предмета геометрии необходимо учитывать результаты анализа первого этапа формирования предмета геометрии.

Некоторые элементы из этого состояния геометрии должны быть включены в пропедевтический курс геометрии поскольку, как мы показали, употребление чертежа в диказательстве снимает в себе употребление рисунка с числами, изображающими поля. Кроме того, мы об этом говорили, особое видение и чтение чертежа на более высоких этапах развития определяется видением чертежа на более низких этапах.

Заметим здесь, что вопрос о том, в каком виде должны входить элементы первого этапа развития геометрии в пропедевтический курс,— это особый вопрос, мы его в работе не обсуждали.

2. На втором этапе формирования предмета геометрии можно проследить, как на основе знаковых средств, обслуживающих производственную деятельность, складывается мыслительная деятельность, лежащая уже целиком в знаковой плоскости. Например, складывается деятельность по вычислению величины прямоугольных полей. При этом рисунки с числами становятся объектами оперирования. Поэтому условием формирования этой деятельности является получение специальных знаний, фиксирующих отношения между действиями с объектами (полями) и действиями с замещающими эти объекты знаками (с числами и рисунками полей).

2.1. Для обучения анализ этого этапа развития имеет принципиальное значение, поскольку большинство мыслительных деятельностей, которые Должны усвоить учащиеся, осуществляется целиком в знаковых плоскостях. Необходимым условием усвоения таких деятельностей, как следует из нашего анализа, является, во-первых, усвоение другой деятельности, включающей в себя не только знаки, но и объекты производственной деятельности, и, во-вторых, усвоение специальных знаний об отношениях знаков к объектам, в-третьих, усвоение формальных операций со знаками.

2.2. Другой интересный момент в формировании мыслительной' деятельности со знаками связан с построением в

­ Конец страницы 303 ­

¯ Начало страницы 304 ¯

знаковой плоскости одних мыслительных процедур с одними объектам» на основе других процедур с другими объектами. Например, таким образом строились алгоритм вычисления трапециидальных и треугольных полей на основе алгоритма вычисления прямоугольных полей. Связывание двух процедур достигается за счет построения в знаковой плоскости особого объекта-посредника, позволяющего представить новый объект деятельности как объект сложившейся деятельности.

Усвоение такого приема деятельности подготавливает учащегося к овладению деятельностью по преобразованию чертежей, использующуюся в доказательстве, поскольку преобразование одного чертежа в другой предполагает мысленное или реальное построение чертежа-посредника. Кроме того, построение объекта-посредника — это прием, сводящий решение новой задачи к решению уже известных задач. Отработка такого приема также важна при обучении способам решения геометрических задач.

3. Переход от второго этапа к третьему происходит в результате рефлективного осознания деятельности по решению арифметико-геометрических задач. Продуктом рефлексии являются сложные знания о чертежах, включенных в вычисления. Использование этих знаний для решения арифметико-геометрических задач делает необходимым относить их к чертежам, еще не включенным в вычисления. В результате чертежи начинают рассматриваться как объекты особого рода, а сложные знания — как знания, полученные из этих объектов. Такие представления в конце концов приводят к формированию деятельности наложения чертежей, позволяющей рассмотреть сложные рефлексивные знания как знания, полученные из чертежей. В логическом предмете этот процесс может быть описан как формирование специфической для геометрии онтологии (фигур чертежей, наложенных друг на друга) и специфических для геометрии знаний (знаний типа «фигура А равна (больше, меньше) фигуре В»).

3.1. Понимание этого факта имеет громадное значение для обучения геометрии. Из анализа геометрической онтологии следует, что чертежи как объекты геометрии имеют особое строение, особые свойства, определяемые, во-первых, рефлексивными знаниями, отнесенными к чертежам, и, во-вторых, особой деятельностью с чертежами как объектами. Усвоение в обучении этих знаний и отработка соответствующих действий с чертежами — необходимое условие, позво-

­ Конец страницы 304 ­

¯ Начало страницы 305 ¯

ляющее овладеть геометрическим предметом.

4. Дальнейшее развитие геометрии представляет собой развертывание полученных знаний-двумя способами: во-первых, уже известным способом при описания сложившихся алгоритмов вычисления по решению различных задачей, во-вторых, путем выяснения предпосылок, -необходимых для применения уже имеющихся знаний. В первом случае новые геометрические знания получались в результате языковой переработки и отнесения к чертежам рефлексивных знаний. Во втором — в результате уточнения объектной области, к которой можно было относить знания, полученные первым способом.

4.1. Однако главная линия формирования геометрических знаний, приведшая к доказательствам, возникла, когда сложились процедуры отнесения к чертежам знаний типа «равно», «больше», «меньше», полученных из языковой переработки рефлексивных знаний. Мы показали, что эти процедуры представляли собой сложное двухслойное движение по преобразованию чертежей и отнесенных к ним знаний. Именно трансляция в обучении этих процедур приводит к формированию доказательства.

Таким образом, строение процедуры доказательства определяют два компонента: указанная выше процедура отнесения, которую мы называем содержательным компонентом, и трансляция способа получения в такой процедуре одних геометрических знаний на основе других. Трансляция, в частности, определяет линейную структуру докзательства.

4.2. Обучение доказательству должно учитывать оба эти компонента, т. е. обучение доказательству сводится к обучению, с одной стороны, преобразованию чертежа и получению знаний о преобразованном чертеже, а, с другой стороны, описанию для обучения этой процедуры.

5. Основные результаты в данной, работе были получены с помощью псевдогенетического анализа. Можно утверждать, что этот метод действительно применим для логического анализа формирования и развития научных предметов, подобных предмету элементарной геометрии.

­ Конец страницы 305 ­

¯ Начало страницы 306 ¯