АНАЛИЗ НЕКОТОРЫХ ЗНАНИЙ О СТРУКТУРЕ АРИФМЕТИЧЕСКИХ ДЕЙСТВИЙ И ПЕРВЫЕ ФОРМУЛИРОВКИ ПРОБЛЕМЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Исследования арифметических действий, проводившиеся ранее, могут быть отнесены к разным группам, в зависимости от того, какой аспект арифметических действий в них выделялся.

А. Сложение и вычитание чисел во многих психологических и педагогических исследованиях рассматриваются как более совершенная форма счета, осуществляемая уже не на предметах рассматриваемой совокупности, а на числах. Отсюда естественная для представителей такой точки зрения трактовка форм выполнения этого действия: а) пересчет

­ Конец страницы 309 ­

¯ Начало страницы 310 ¯

предметов, б) присчитывание по единице к заданному числу, в) операции сложения и вычитания чисел.

Такое представление выводится из наблюдения, что к сложению и вычитанию чисел дети переходят после того, как они овладевают пересчетом и присчитыванием. Оно служит основанием при построении методик обучения.

В методике А. С. Пчелко таблицу сложения и вычитания рекомендуется усваивать в процессе выполнения упражнений по присчитыванию предметов [12J. Аналогичный путь предлагает Я. Ф. Чекмарев при обучении детей шестилетнего возраста [15].

Ф. Н. Блехер, рассматривая вопрос об обучении дошкольников счету, трактует присчитывание как «ведущее звено в производстве арифметического действия сложения» [1, стр. 71].

В связи с приведенным пониманием арифметических действий возникает ряд вопросов.

1. Можно ли на основе констатации эмпирической последовательности различных действий «пересчет-присчет (отсчет)— сложение и вычитание» заключать о внутренней и необходимой связи между ними, а тем более заключать о том, что последующие действия — более высокая форма выполнения предшествующих действий. Не может ли оказаться, что данная последовательность лишь результат сложившегося обучения и еще не свидетельствует о наличии необходимых внутренних связей между этими действиями?

2. Если предположить, что такие связи действительно существуют, тогда нужно выяснить, какова природа этих связей. Она может быть различной:

а) сложение и вычитание чисел, с одной стороны, и предметный счет — с другой, средства решения одних и тех же задачи характеризуются одним и тем же предметным содержанием. Различие между ними заключается лишь в форме выполнения действий: одни выполняются на предметах, во внешнем и развернутом плане; другие осуществляются с числами и являются внутренними сокращенными действиями. Именно в связи с таким пониманием в работах В. В. Давыдова [3] и Н. И. Непомнящей [9] процесс сокращения предметного действия рассматривался как один из важнейших механизмов преобразования счета в арифметические действия;

б) счет или какие-то его компоненты входят в качестве некоторых составляющих в структуру арифметического действия. В этом случае пересчет (или присчитывание), с одной

­ Конец страницы 310 ­

¯ Начало страницы 311 ¯

стороны, и сложение (вычитание) чисел — с другой, нельзя рассматривать как разные формы выполнения одного и того же действия;

в) объяснение зависимости в формировании сложения (вычитания) от пересчета (и присчитывания) может лежать не в плоскости структуры этих действий, а быть связанным с особенностями их усвоения. В этом случае необходимо специально проанализировать, какие моменты усвоения арифметических действий и почему требуют связи с пересчетом или присчитыванием.

Итак, с точки зрения отношения к результатам этой группы исследований необходимо, во-первых, осуществить специальную проверку того, имеет ли место зависимость формирования сложения-вычитания от предметного счета; во-вторых, проанализировать природу этой зависимости, учитывая проведенные выше расчленения.

Б. В исследованиях Ж. Пиаже и А. Шеминской [21] ставится задача изучить структуру числовой операции. Число рассматривается здесь как связанное не с конкретными предметными действиями, а с особыми отвлеченными отношениями, выделяемыми на уровне логических операций. Структура числовой операции образуется особой связью операций классификации и сериации¹. Действия с числом, следовательно, нельзя относить непосредственно к конкретным предметным действиям; числовые операции связаны с особыми плоскостями действий, в данном случае с плоскостью логических операций.

Реализация этого общего положения в работах Пиаже характеризуется рядом особенностей. Они обусловлены прежде всего тем, как Пиаже понимает роль знака в структуре мыслительной операции. Наличие знака, по Пиаже, не меняет существенным образом структуру операции. Например, «устное счисление может ускорить процесс эволюции, но, как таковое, название числа не порождает его» [21].

В основании этого тезиса лежит представление о том, что появление у ребенка операций является результатом внутреннего развития. При реализации этого подхода, даже в рамках исследования самого Пиаже, возникают затруднения и

___________

¹Операции классификации задают принадлежность объектов одному классу, а операции сериации выделяют их различие и порядок следования по определенному признаку. Синтез того и другого превращает объекты в единифы и позволяет применить к ним числовые операции.

­ Конец страницы 311 ­

¯ Начало страницы 312 ¯

противоречия. Не удается, во-первых, выделить специфику числовых операций и определить их отличие от логических операций классификации, сериации и их комбинаций; во-вторых, описать различие в структурах разных математических операций — предметного счета, сложения, вычитания, умножения, деления. Характеристика отношения классификации и сериации к указанным математическим структурам является слишком общей и описательной.

Анализ данного исследования приводит, таким образом, к следующим вопросам:

1. С совокупностью каких отношений (операции классификации, сериации и др.) связано использование арифметических операций сложения и вычитания, какова необходимость и функции этих отношений в структуре арифметического действия?

2. В чем специфика числовых и, в частности, арифметических действий, в отличие от входящих в их структуру так называемых логических действий и операций?

В. В исследовании Л. С. Георгиева счет и число связываются со специфической деятельностью измерения. Арифметические операции характеризуются в контексте данного исследования как один из частных случаев фиксации результатов действий с составными мерками [2].

Возникает вопрос: могут ли арифметические действия рассматриваться как средство выполнения той же деятельности измерения, что и предметный счет, и, если нет, какова специфическая структура арифметических действий, в отличие от счета как средства выполнения или фиксации действия измерения?

Г. В работах В. В. Давыдова выделяется, с одной стороны, та более широкая деятельность — уравнение и комплектование,— средством выполнения Которой при определенных условиях является действие с числом, а с другой стороны — специфическая плоскость содержания числовых действий установление отношений «равенство—неравенство» совокупностей [4, 5].

Вопросы, возникающие при учете и оценке результатов данного исследования, аналогичны тем, которые были приведены нами выше:

1. Какова структура той более широкой деятельности или задачи, специфическим средством выполнения которой являются арифметические действия?

2. Ограничивается ли содержание арифметического деист-

­ Конец страницы 312 ­

¯ Начало страницы 313 ¯

вия действием с отношением «равенство—неравенство» и, если нет, какие компоненты еще входят в это содержание, какова функция каждого из этих компонентов (и в том числе действия с отношением «равенство—неравенство»)?

Д. А. М. Леушина рассматривает арифметические действия как средство осуществления особой специфической деятельности — решения арифметической задачи. В соответствии с таким пониманием А. М. Леушина рекомендует строить обучение арифметическим действиям у детей дошкольного возраста (в подготовительной группе детского сада). Приемы сложения и вычитания даются здесь с самого начала как средство решения арифметической задачи. Главное, считает А. М. Леушина,— это выделить смысл арифметического действия, фиксируемый в знаке. Смысл арифметического действия может быть выделен на основе решения арифметической задачи. Способ обучения направлен на то, чтобы, решая конкретные арифметические задачи и применяя в них — сначала при помощи взрослого — нужные арифметические знаки, дети затем могли бы сами правильно использовать их [6].

Однако сейчас уже достаточно выяснилось, что решение конкретных арифметических задач не обеспечивает еще выделение ребенком обобщенного смысла арифметического знака. Таким образом, правильные и, на наш взгляд, весьма перспективные положения А. М. Леушиной, что обучение арифметическим действиям должно происходить в контексте решения арифметических задач, должны быть дополнены специальными описаниями структуры арифметических действий и структуры арифметических задач.

Е. Неполноценность продукта, получаемого в результате обучения, при котором не выделяется обобщенное значение арифметического знака, была показана в работах Г. П. Щедровицкого и С. Г. Якобсон [16, 17]. Оказалось, что дети ориентируются при выборе знака на ряд побочных моментов (особенности словесного текста задачи, наличие в нем описания повторяющихся действий, например: при слове «прилетели» дети ставят знак сложения, при слове «улетели»— знак вычитания) и не осознают обобщающего значения арифметического знака.

Авторы анализируют особую деятельность — получение результатов объединения и разъединения совокупностей в условиях, когда совокупности или их элементы разобщены во времени или в пространства Предметом их анализа является

­ Конец страницы 313 ­

¯ Начало страницы 314 ¯

действие предметного моделирования и счета как средство осуществления данной деятельности. Смысл счета при выполнении такого рода деятельности выделяется здесь в обобщенной форме через введение действия с отношением «целое—части», которое моделируется посредством специальных объектов и выражает в общей форме ситуацию объединения—разъединения совокупностей. Таким образом,' между плоскостью конкретного действия объединения— разъединения и плоскостью счета оказывается третья промежуточная плоскость, которая и обеспечивает независимость использования предметного счета от конкретного содержания решаемых задач. Г. П. Щедровицкий и С. Г. Якобсон предполагают, что арифметические действия — средство выполнения данной деятельности, но в особых условиях текстовой арифметической задачи, когда совокупности и их преобразования зафиксированы в виде словесного текста и чисел. Однако структура арифметических действий и отношение их к структуре арифметической задачи в данной работе не рассматриваются.

Вопросы, которые мы формулировали при анализе содержания отдельных исследований, были получены нами благодаря тому, что эти исследования рассматривались с точки зрения тех требований, которые в приведенной выше схеме 4 обозначены как современные научные представления. Эти вопросы мы можем трактовать как первое, неполное формулирование проблем исследования. Следовательно, эти проблемы состоят в том, чтобы, анализируя структуру арифметических действий, выяснить: 1) отношение между арифметическими действиями и предметным счетом и природу этого отношения; 2) отношение между арифметическими действиями и логическими операциями (классификация, установление равенства и т. п.); 3) структуру той деятельности (например, решения арифметической задачи, специфическим средством выполнения которой являются арифметические действия.

После того как мы проанализируем принятые методы исследований и рассмотрим их в контексте современных общих научных представлений, мы можем сформулировать проблемы, относящиеся к методу нашего исследования, и получать таким образом полную формулировку проблем исследования. Наконец, рассмотрев проблемы в контексте принимаемых исходных средств анализа, мы сформулируем задачи исследования.

­ Конец страницы 314 ­

¯ Начало страницы 315 ¯