Пример выполнения задания. Вычерчиваем в масштабе расчетную схему бруса и указываем исходные данные согласно заданному варианту (рис

 

Вычерчиваем в масштабе расчетную схему бруса и указываем исходные данные согласно заданному варианту (рис. 3.3).

(Выписывается текст задания – см. п. 3.1).

 

Рисунок 3.3 – Расчетная схема бруса

 

Примечание: при вычерчивании расчетной схемы масштабы длин участков бруса и размеров поперечных сечений допустимо выбирать независимыми.

Решение: заданная система один раз статически неопределима. Для раскрытия статической неопределимости отбрасываем правую опору, а ее действие на вал заменяем моментом М_В (рис. 3.4, а). Этот момент определяем из условия равенства нулю угла поворота правого сечения В относительно левого А. Выражение для угла поворота j_В записываем, пользуясь принципом суперпозиции. При этом жесткость на участке АС обозначаем GJ_k, на участке , на участке :

Отсюда

.

Рисунок 3.4 – Расчетная схема и эпюры к расчету вала на кручение

 

 

Последнее равенство получено умножением предыдущего на и делением на множитель при М_В.

Определим геометрические характеристики крутильной жесткости для каждой ступени вала, пользуясь известными формулами
[1, с.119].

Для прямоугольного сечения (участок АС):

Для кольцевого сечения (участок CD):

Для треугольного сечения (участок DB):

Находим отношения:

;

Выразим момент М_В через параметр m, используя исходные
данные:

Из уравнения равновесия статики (рис. 3.4, а) находим второй опорный момент М_А, предполагая, что его направление совпадает с направлением момента М_В:

;

.

Действительное направление момента М_А в данном случае совпало с предполагаемым. Указываем момент М_А на расчетной схеме
(рис. 3.4, а).

(Если в результате вычислений момент М_А будет отрицательным, это означает, что его направление противоположно направлению момента М_В. На расчетной схеме следует указать действительное направление момента М_А).

Методом сечений строим эпюру крутящих моментов. Для этого вал разбиваем на участки, границами которых являются сечения, где приложены внешние моменты.

При этом крутящий момент считаем положительным, если при взгляде на сечение со стороны внешней нормали он направлен против хода часовой стрелки. Из этого правила знаков для крутящих (внутренних) моментов вытекает правило учета знаков внешних моментов при составлении аналитических выражений для крутящих моментов. Крутящий момент в сечении вала равен алгебраической сумме внешних моментов, приложенных по одну сторону от сечения относительно оси вала. Если при взгляде от сечения к концу вала внешний момент направлен по ходу часовой стрелки, то при составлении аналитического выражения для М_к его учитываем со знаком (+).

В данном случае вал имеет четыре участка для построения эпюры М_к, которые на рис. 3.4, а пронумерованы римскими цифрами: I, II, III, IV.

Составляем аналитические выражения для крутящих моментов по участкам:

.

Эпюра крутящих моментов в принятом масштабе построена на
рис. 3.4, б.

Построенную эпюру крутящих моментов проверяем по скачкам: в сечениях вала, в которых приложены внешние моменты, на эпюре М_к имеем скачки на величины этих моментов.

Построим эпюру максимальных касательных напряжений.

Участок I имеет постоянное сечение прямоугольной формы. Опасные точки в этом сечении находятся посередине длинных сторон. Напряжения в этих точках:

 

где

При этом параметр m должен быть выражен в Нм.

Коэффициент a выбран по табл. 3 из [1, c. 107].

Такую же форму сечения имеет вал на отрезке ЕС участка II, где

 

На отрезке CF участка II вал имеет кольцевое сечение. Опасными в этом сечении являются крайние точки, в которых

,

где

Такое же кольцевое сечение имеет вал на отрезке FD участка III, где

.

На отрезке DK участка III и на участке IV вал имеет треугольное сечение. Опасными точками этого сечения являются точки, расположенные посередине сторон треугольника.

При этом [1, с. 119]

Напряжения в опасных точках сечения на отрезке DK участка III и на участке IV соответственно:

;

.

По полученным результатам построена эпюра наибольших касательных напряжений по длине вала (рис. 3.4, в).

Наибольшие касательные напряжения, как следует из эпюры , возникают на отрезке DK участка III вала, имеющего здесь треугольное сечение.

По условию прочности определяется допускаемое значение параметра m:

6,006×10⁴× m £ [ t ] = 80×10⁶ Па.

 

Отсюда

.

Находим допускаемые значения внешних моментов:

; ; ;

; .

Построим эпюру углов поворота поперечных сечений вала при найденных значениях внешних моментов.

На участке I крутящий момент положителен. Следовательно, сечение, заданное координатой z ₁, повернется по направлению крутящего момента, то есть против хода часовой стрелки, если смотреть на сечение со стороны положительного направления оси z (см.
рис. 3.4, а), на угол:

,

где z ₁ измеряется в метрах (0 £ z ₁ £ 0,6 м).

В сечении Е .

Угол поворота сечений от координаты z ₁ зависит линейно. Следовательно, на эпюре углов поворота сечений будут отрезки прямых линий.

Угол поворота сечения С:

Сечение С относительно сечения А повернулось по ходу часовой стрелки (если смотреть со стороны положительного направления
оси z).

Угол поворота сечения F:

Угол поворота сечения D:

Сечение F и D повернулись относительно сечения А по ходу часовой стрелки.

Угол поворота сечения К:

 

Угол поворота сечения В вычисляем для проверки решения:

Незначительное отклонение от нуля связано с погрешностью вычислений за счет округления результатов.

Эпюра углов поворота сечений вала построена на рис. 3.4, г.

По эпюре углов поворота поперечных сечений вала находим наибольшее значение относительного угла закручивания, которое имеет место на отрезке DK участка IV:

.

Это же значение может быть найдено по формуле

Сравнив это значение с допускаемым , делаем заключение о достаточной жесткости вала.

 

Рекомендуемая литература

 

1. Феодосьев, В.И. Сопротивление материалов / В.И. Феодосьев. – М.: Наука, 1986. – С. 89-120.

2. Миролюбов, И.Н. Пособие к решению задач по сопротивлению материалов / И.Н. Миролюбов, С.А. Енгалычев, Н.Д. Сергиевский и др. – М.: Высшая школа, 1985. – С. 48-61.

3. Александров, А.В. Сборник задач по сопротивлению материалов / А.В. Александров, Б.П. Державин, Б.Я. Лащеников и др. – М.: Стройиздат, 1977. – С. 76-84.