Студопедия — Дифференциальные уравнения
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Дифференциальные уравнения






 

Задача 1. Найти общий интеграл дифференциального уравнения (ответ представить в виде )

Решение:

Отсюда

 

Задача 2. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение:

Произведем замену переменной

Отсюда

Так как , то получаем

 

Задача 3. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение:

Найдем точку пересечения прямых и .

Отсюда

Перенесем начало координат в точку пересечения , т.е. сделаем замену ,

Таким образом получим

Данное уравнение однородное, поэтому сделаем замену

Отсюда

Таким образом

Сделаем обратную замену

 

Задача 4. Найти решение задачи Коши

,

Решение:

Дифференциальное уравнение является линейным. Сначала решаем уравнение

В исходном уравнении произведем замену ,

Таким образом общее решение дифференциального уравнения.

Так как , то , поэтому частное решение будет равно

 

Задача 5. Решить задачу Коши

,

Решение:

Преобразуем данное уравнение, имея ввиду, что . Таким образом

Получившееся уравнение является линейным. Сначала решаем уравнение

В уравнении произведем замену ,

Решаем интегралы методом интегрирования по частям

Получаем

Таким образом общее решение дифференциального уравнения. Так как , то , поэтому частное решение будет равно

 

Задача 6. Найти решение задачи Коши

,

Решение:

Преобразуем данное уравнение, умножив обе части на , получим .

Сделаем замену , тогда , получим .

Получившееся уравнение является линейным. Сначала решаем уравнение

В уравнении произведем замену ,

Таким образом общее решение дифференциального уравнения. Так как , то , поэтому частное решение будет равно

 

Задача 7. Найти общий интеграл дифференциального уравнения

Решение:

Проверим, является ли данное ДУ уравнением в полных дифференциалах:

,

,

Так как , то уравнение является уравнением в полных дифференциалах и имеет вид

,

отсюда

Так как , то

значит общий интеграл дифференциального уравнения будет равен

 

Задача 10. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение:

Сделаем замену переменной ,

Таким образом

Значит

Отсюда

Таким образом - общее решение дифференциального уравнения, где C, B, A – произвольные константы.

 

Задача 11. Найти решение задачи Коши

, ,

Решение:

Произведем замену переменной

Таким образом

Значит

Так как , , то

Таким образом

Так как , то

Значит

 

Задача 12. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным. Сначала найдем общее решение однородного уравнения с помощью характеристического уравнения

Отсюда общее решение однородного уравнения будет выглядеть как

Частное решение будем искать в виде

Отсюда

Подставим найденные значения в исходное уравнение

Тогда общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения будет

 

Задача 13. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным. Сначала найдем общее решение однородного уравнения с помощью характеристического уравнения

Отсюда общее решение однородного уравнения будет выглядеть как

Частное решение будем искать в виде

Подставим найденные значения в исходное уравнение

Частное решение будет равно

Тогда общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения будет

 

Задача 14. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным. Сначала найдем общее решение однородного уравнения с помощью характеристического уравнения

Отсюда общее решение однородного уравнения будет выглядеть как

Частное решение будем искать в виде

Подставим найденные значения в исходное уравнение

Частное решение будет равно

Тогда общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения будет

 

Задача 15. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным. Сначала найдем общее решение однородного уравнения с помощью характеристического уравнения

Отсюда общее решение однородного уравнения будет выглядеть как

Найдем частное решение неоднородного уравнения, применив принцип суперпозиции.

Разбиваем правую часть на слагаемые:

Найдем частные решения для каждого слагаемого

Ищем решение в виде

Значит

Ищем решение в виде

Значит

Согласно принципу суперпозиции частное решение неоднородного уравнения будет равно сумме частных решений для каждого слагаемого:

Тогда общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения будет

 

Задача 16. Найти решение задачи Коши

, ,

Решение:

Данное дифференциальное уравнение является линейным неоднородным. Сначала найдем общее решение однородного уравнения с помощью характеристического уравнения

Отсюда общее решение однородного уравнения будет выглядеть как

Найдем частное решение неоднородного дифференциального уравнения, используя метод вариации произвольных постоянных

Положим , тогда

Подставим полученные значения в исходное уравнение

Таким образом получаем систему уравнений

Выразим через с помощью первого уравнения данной системы

Используя второе уравнение системы, получим

Находим u

Подставим u и v в выражение для y

Исходя из начальных условий , получаем

Отсюда решение задачи Коши будет таким

 







Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 778. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Тема: Изучение фенотипов местных сортов растений Цель: расширить знания о задачах современной селекции. Оборудование:пакетики семян различных сортов томатов...

Тема: Составление цепи питания Цель: расширить знания о биотических факторах среды. Оборудование:гербарные растения...

В эволюции растений и животных. Цель: выявить ароморфозы и идиоадаптации у растений Цель: выявить ароморфозы и идиоадаптации у растений. Оборудование: гербарные растения, чучела хордовых (рыб, земноводных, птиц, пресмыкающихся, млекопитающих), коллекции насекомых, влажные препараты паразитических червей, мох, хвощ, папоротник...

Примеры решения типовых задач. Пример 1.Степень диссоциации уксусной кислоты в 0,1 М растворе равна 1,32∙10-2   Пример 1.Степень диссоциации уксусной кислоты в 0,1 М растворе равна 1,32∙10-2. Найдите константу диссоциации кислоты и значение рК. Решение. Подставим данные задачи в уравнение закона разбавления К = a2См/(1 –a) =...

Экспертная оценка как метод психологического исследования Экспертная оценка – диагностический метод измерения, с помощью которого качественные особенности психических явлений получают свое числовое выражение в форме количественных оценок...

В теории государства и права выделяют два пути возникновения государства: восточный и западный Восточный путь возникновения государства представляет собой плавный переход, перерастание первобытного общества в государство...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия