Студопедия — Основы фрактального сжатия изображений из песочницы
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Основы фрактального сжатия изображений из песочницы






Фракталы — удивительные математические объекты, подкупающие своей простотой и богатыми возможностями по построению объектов сложной природы при помощи всего лишь нескольких коэффициентов и простой итеративной схемы.

ñ Метрика — функция, заданная на пространстве, возвращающая расстояние между двумя точками этого пространства. Например, привычная нам Эвклидова метрика. Если на пространстве задана метрика, оно называется метрическим. Метрика должна удовлетворять определенным условиям, но не будем углубляться.

ñ Сжимающее отображение (преобразование) — функция на метрическом пространстве, равномерно уменьшающая расстояние между двумя точками пространства. Например, y=0.5x.

Сжимающие отображения обладают важным свойством. Если взять любую точку и начать итеративно применять к ней одно и то же сжимающее отображение: f(f(f...f(x))), то результатом будет всегда одна и та же точка. Чем больше раз применим, тем точнее найдем эту точку. Называется она неподвижной точкой и для каждого сжимающего отображения она существует, причем только одна.

Несколько аффинных сжимающих отображений образуют систему итерированных функций (СИФ). По сути, СИФ — это множительная машина. Она принимает исходное изображение, искажает его, перемещает, и так несколько раз.

Например, вот так при помощи СИФ из трех функций строится треугольник Серпинского:

Исходный треугольник три раза множится, уменьшается и переносится. И так далее. Если так продолжать до бесконечности, получим известный фрактал площадью 0 и размерностью 1,585.

Если функции, входящие в СИФ,— сжимающие, то сама СИФ тоже имеет неподвижную точку. Вот только эта «точка» будет уже не привычной нам точкой в N-мерном пространстве, а множеством таких точек, то есть изображением. Оно называется аттрактором СИФ. Для СИФ, приведенной выше, аттрактором будет треугольник Серпинского.

Тут мы переходим на следующий уровень — в пространство изображений. В этом пространстве:

ñ Точка пространства — это изображение.

ñ Расстояние между точками показывает, насколько похожи изображения между собой, насколько «близки» (естественно, если его задать соответствующим образом).

ñ Сжимающее отображение делает два любых изображения более похожими (в смысле заданной метрики).

Имея СИФ, найти аттрактор просто. Во всяком случае, имея под рукой компьютер. Можно взять абсолютно любое начальное изображение и начать применять к нему СИФ. Пример с тем же треугольником, но уже построенным из квадрата:

Получается, что для построения довольно сложной фигуры нам потребовалось 18 коэффициентов. Выигрыш, как говорится, налицо.

Вот если бы мы умели решать обратную задачу — имея аттрактор, строить СИФ… Тогда достаточно взять аттрактор-изображение, похожее на фотографию вашей кошки и можно довольно выгодно его закодировать.

Вот здесь, собственно, начинаются проблемы. Произвольные изображения, в отличие от фракталов, не самоподобны, так что так просто эта задача не решается. Как это сделать придумал в 1992 году Арнольд Жакин, в то время — аспирант Майкла Барнсли, который считается отцом фрактального сжатия.

Самоподобие нам нужно обязательно — иначе ограниченные в своих возможностях аффинные преобразования не смогут правдоподобно приблизить изображения. А если его нет между частью и целым, то можно поискать между частью и частью. Примерно так, видимо, рассуждал и Жакин.

Упрощенная схема кодирования выглядит так:

ñ Изображение делится на небольшие неперекрывающиеся квадратные области, называемые ранговыми блоками. По сути, разбивается на квадраты. См. картинку ниже.

ñ Строится пул всех возможных перекрывающихся блоков в четыре раза больших ранговых — доменных блоков.

ñ Для каждого рангового блока по очереди «примеряем» доменные блоки и ищем такое преобразование, которое делает доменный блок наиболее похожим на текущий ранговый.

ñ Пара «преобразование-доменный блок», которая приблизилась к идеалу, ставится в соответствие ранговому блоку. В закодированное изображение сохраняются коэффициенты преобразования и координаты доменного блока. Содержимое доменного блока нам ни к чему — вы же помните, нам все равно с какой точки стартовать.

На картинке ранговый блок обозначен жёлтым, соответствующий ему доменный — красным. Также показаны этапы преобразования и результат.

Декодирование же производится просто и довольно быстро. Берем любое изображение, делим на ранговые области, последовательно заменяем их результатом применения соотв. преобразования к соотв. доменной области (что бы она ни содержала в данный момент). После нескольких итераций исходное изображение станет похоже на себя:







Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 365. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Основные симптомы при заболеваниях органов кровообращения При болезнях органов кровообращения больные могут предъявлять различные жалобы: боли в области сердца и за грудиной, одышка, сердцебиение, перебои в сердце, удушье, отеки, цианоз головная боль, увеличение печени, слабость...

Вопрос 1. Коллективные средства защиты: вентиляция, освещение, защита от шума и вибрации Коллективные средства защиты: вентиляция, освещение, защита от шума и вибрации К коллективным средствам защиты относятся: вентиляция, отопление, освещение, защита от шума и вибрации...

Задержки и неисправности пистолета Макарова 1.Что может произойти при стрельбе из пистолета, если загрязнятся пазы на рамке...

ТЕРМОДИНАМИКА БИОЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ. 1. Особенности термодинамического метода изучения биологических систем. Основные понятия термодинамики. Термодинамикой называется раздел физики...

Травматическая окклюзия и ее клинические признаки При пародонтите и парадонтозе резистентность тканей пародонта падает...

Подкожное введение сывороток по методу Безредки. С целью предупреждения развития анафилактического шока и других аллергических реак­ций при введении иммунных сывороток используют метод Безредки для определения реакции больного на введение сыворотки...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.01 сек.) русская версия | украинская версия