Моменты инерции простейших сечений

Осевые моменты инерции прямоугольника (рис. 25.2)

Представим прямоугольник высотой h и шири­ной b в виде сечения, составленного из бесконечно тонких полос. Запишем площадь такой полосы: bdy = dA. Подставим в формулу осевого момента инерции относительно оси Оx:

По аналогии, если разбить прямоугольник на вертикальные по­лосы, рассчитать площади полос и подставить в формулу для осевого момента инерции относительно оси Оу, получим:

Очевидно, что при h > Ь сопротивление повороту относительно оси Ох больше, чем относительно Оу.

Для квадрата:

Полярный момент инерции круга

Для круга вначале вычисляют полярный момент инерции, затем — осевые. Представим круг в виде совокупности бесконечно тонких колец (рис. 25.3).

Площадь каждого кольца можно рассчи­тать как площадь прямоугольника с длинной стороной, равной длине соответствующей окружности, и высотой, равной толщине кольца:

Подставим это выражение для площади в формулу для поляр­ного момента инерции:

Получим формулу для расчета полярного момента инерции круга:

Подобным же образом можно получить формулу для расчета полярного момента инерции кольца:

где d — наружный диаметр кольца; d_BH — внутренний диаметр ко­льца.

Если обозначить