Студопедия — Линейные колебания в системах с одной степенью свободы.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Линейные колебания в системах с одной степенью свободы.






Будем изучать основные закономерности таким колебаний. Примеры: математический маятник, физический маятник – в обоих случаях единственная переменная описывающая положение системы в данный момент времени – угол ; груз на пружине – колеблющаяся переменная ; колебательный контур – колебания заряда конденсаторе на или напряжения на нем , или тока в катушке.

Динамические уравнения колебательного движения.

Пружинный маятник: на груз действует со стороны растянутой или сжатой пружины сила ее упругости, подчиняющаяся закону Гука . Канонический вид уравнения:

Физический маятник и торсионный пружинный осциллятор. Физический маятник:

Канонический вид уравнения:

- расстояние от неподвижной точки (крепления маятника) до центра масс тела.

Математический маятник – точечная масса на невесомом подвесе. . Приведенная длина физического маятника: .

Точка тела, лежащая на линии соединения точки подвеса и центра масс и удаленная от точки подвеса на расстояние , называется центром качаний физического маятника (точка на правом рисунке). Если в центре качаний сосредоточить всю массу системы, то физический маятник превращается в математический маятник с той же собственной частотой колебаний . Центр качаний удален от точки подвеса дальше, чем центр масс: > .

Теорема Гюйгенса: если точку подвеса и центр качаний поменять местами («оборотный маятник»), частота колебаний маятника не изменится.

Доказательство: Покажем, что приведенная длина прямого и оборотного маятника одинаковы:

В условиях малых колебаний

Колебательный контур:

(в системе СИ).

 

Системы, описываемые одним и тем же дифференциальным уравнением, являются динамически эквивалентными. Качественно, они проявляют одни и те же закономерности поведения. Изучим их на какой-то одной системе.

Пружинный маятник. Происходит превращение кинетической энергии груза в потенциальную энергию деформированной пружины и обратно. Физический маятник – превращение кинетической энергии маятника в потенциальную гравитационную энергии и обратно.

Решение канонического уравнения (проверяется непосредственной подстановкой):

;

амплитуда колебаний; фаза колебаний, начальная фаза.

Важно: амплитуда и начальная фаза колебаний определяются начальными условиями: положением и скорость осциллятора в начальный момент времени . Циклическая частота линейных колебаний есть постоянная величина, определяемая видом самой системы – она не зависит от начальных условий и амплитуды колебаний. Соответственно и период линейных колебаний

не зависит от амплитуды колебаний и начальных условий. Это свойство независимости периода колебаний от их амплитуды формулируют как изохронность колебаний: колебания с разными амплитудами имеют один и тот же период. Изохронность – атрибут линейного осциллятора. В этом смысле линейный осциллятор - сам себе часы. Он создает естественную для него единицу времени период собственных колебаний. Современный эталон времени – тоже колебательный процесс, а единица времени – связана с периодом этих эталонных колебаний.

Примеры начальных условий:

Уравнение колебаний при данных начальных условиях: .

Другой способ задания начальных условий:

Уравнение колебаний при данных начальных условиях: .

При имеем .

Общий случай произвольных начальных условий изучить самостоятельно.

Энергетические превращения.

Потенциальная энергия силы упругости сжатой (растянутой) пружины равна половине квадрата ее деформации на коэффициент жесткости.

Последнее равенство отражает закон сохранения механической энергии в системе, когда в ней отсутствуют диссипативные силы.

Заметим:

Энергия колеблется с частотой, вдвое большей, чем меняется смещение от положения равновесия . Графики изменения энергии.

Изображение на фазовой плоскости. Фазовая траектория:

Колебательное движение с заданной амплитудой на фазовой плоскости изображается фазовой траекторией в виде эллипса с полуосями . Фазовый портрет. Состояние равновесия – особая точка типа центра.







Дата добавления: 2015-10-02; просмотров: 600. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Гальванического элемента При контакте двух любых фаз на границе их раздела возникает двойной электрический слой (ДЭС), состоящий из равных по величине, но противоположных по знаку электрических зарядов...

Сущность, виды и функции маркетинга персонала Перснал-маркетинг является новым понятием. В мировой практике маркетинга и управления персоналом он выделился в отдельное направление лишь в начале 90-х гг.XX века...

Разработка товарной и ценовой стратегии фирмы на российском рынке хлебопродуктов В начале 1994 г. английская фирма МОНО совместно с бельгийской ПЮРАТОС приняла решение о начале совместного проекта на российском рынке. Эти фирмы ведут деятельность в сопредельных сферах производства хлебопродуктов. МОНО – крупнейший в Великобритании...

ФАКТОРЫ, ВЛИЯЮЩИЕ НА ИЗНОС ДЕТАЛЕЙ, И МЕТОДЫ СНИЖЕНИИ СКОРОСТИ ИЗНАШИВАНИЯ Кроме названных причин разрушений и износов, знание которых можно использовать в системе технического обслуживания и ремонта машин для повышения их долговечности, немаловажное значение имеют знания о причинах разрушения деталей в результате старения...

Различие эмпиризма и рационализма Родоначальником эмпиризма стал английский философ Ф. Бэкон. Основной тезис эмпиризма гласит: в разуме нет ничего такого...

Индекс гингивита (PMA) (Schour, Massler, 1948) Для оценки тяжести гингивита (а в последующем и ре­гистрации динамики процесса) используют папиллярно-маргинально-альвеолярный индекс (РМА)...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия