Студопедия — Комплексные числа
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Комплексные числа

Комплексные числа

no1. Определение комплексных чисел   Определение 1. Комплексными числами называются всевозможные упорядоченные пары вещественных чисел и , при этом для этих пар понятия равенства, суммы, произведения и отождествления некоторых пар с вещественными числами вводятся по следующим правилам (аксиомам): I. (равенство к.ч.) II. (сумма к.ч) III. (произведение к.ч.) IV. (отождествление некоторых к.ч с в.ч.)   Множество всех комплексных чисел обозначается буквой . Свойства операций сложения и умножения к.ч. Легко проверить, что операции сложения коммутативна: и ассоциативна: Комплексное и, в соответствии с IV, одновременно вещественное число очевидно обладает тем свойством, что   Комплексное число   называется противоположным к.ч. , при этом очевидно     Нетрудно убедиться, что операция умножения комплексных чисел.   коммутативна:   ассоциативна:   дистрибутивна по отношению к сложению:     Отметим, что для любого к.ч. в соответствии с определением операции умножения   и, следовательно пара играет роль единицы при умножении к.ч., что согласуется с тем, что комплексное число отождествляется с вещественным числом 1. Вообще отметим, что в соответствии с аксиомами III и IV Действительно,   Вычитание и деление к.ч. Разность к.ч. вводится на основе операции сложения и понятия противоположного к.ч. по следующему правилу:     Пусть к.ч. отлично от нуля, т.е. отлично от нуля хотя бы одно из вещественных чисел и . Тогда к.ч. называется обратным к к.ч. .   Очевидно,   .   Операция деления к.ч. вводится на основе операции умножения и введенного выше понятия обратного к.ч. А именно, частным от деления к.ч. на к.ч. называется к.ч. Замечание1. Нетрудно показать, что при умножении числителя и знаменателя дроби на одно и то же к.ч. она не изменится, т.е   Комплексное число называется комплексно сопряженным к (для) к.ч. .   Ясно, что к.ч. ,   в свою очередь, является комплексно сопряженным к к.ч.   т.е. комплексно сопряженное к комплексно сопряженному для к.ч. есть само к.ч. .   Для любой пары комплексно сопряженных чисел   и ,   очевидно, + .     Действительно,   +   Таким образом произведение к.ч. на ему комплексно сопряженное является вещественным числом. no2. Алгебраическая форма к.ч. К.ч. называется мнимой единицей и обозначается буквой . Таким образом, .   По определению умножения к.ч. имеем     Следовательно, Для любого комплексного числа , очевидно, что   (здесь нужно учесть, что а по аксиоме IV ).   Запись к.ч. в виде называется алгебраической формой записи этого к.ч., при этом вещественное число называют вещественной частью к.ч. и обозначают , а в.ч. называют его мнимой частью и обозначают (     Ясно, что число, комплексно сопряженное к к.ч. в алгебраической форме записи имеет вид , а операции сложения, умножения, вычитания и деления при использовании алгебраической форме записи к.ч. производятся по формулам:   , , , .   Необходимости запоминать две последние формулы нет. Для того, чтобы получить третью из этих формул достаточно перемножить выражения, стоящие в ней слева по обычным правилам действия с алгебраическими выражениями, затем привести подобные члены и учесть, что . В свою очередь, что бы получить последнюю из них, с учетом замечания 1, достаточно умножить числитель и знаменатель дроби на к.ч. сопряженное знаменателю и затем произвести умножение к.ч. в числителе и знаменателе полученной дроби.     Примеры 1.   2.     no3 .Тригонометрическая форма к.ч.   Пусть на плоскости введена декартова прямоугольная система координат . Тогда каждому к.ч. можно сопоставить точку на этой плоскости с координатами и по осям и , соответственно. При этом каждому к.ч. соответствует точка на этой плоскости, а каждой точке на ней - определенное к.ч.   Таким образом, к.ч. соответствует точка . Длину ее радиус-вектора обозначим , , Предполагая, что (т.е., что угол между радиус-вектором и положительным направлением оси , отсчитываемым от нее против часовой стрелки, обозначим через . Тогда для координат точки будем иметь формулы   и, следовательно, к.ч. можно записать в виде     Такая форма записи к.ч. называется тригонометрической формой записи этого к.ч., при этом (заведомо неотрицательное) вещественное число называют модулем к.ч. и обозначают , а число называют аргументом к.ч. и обозначают .   Модуль к.ч. определяется однозначно, а аргумент , - с точностью до слагаемого, кратного , исходя из уравнений .   Подчеркнем здесь еще раз, что аргумент не определен для к.ч. .     Примеры 3.     4.   5.     6. , где -угол первой четверти, косинус которого равен .   Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме записи.   Пусть и Тогда  
      (1)
 

Таким образом,

 

,   (2)
 

,   (3)
 

т.е. при умножении к.ч. их модули перемножаются, а аргументы складываются (модуль произведения равен произведению модулей сомножителей, а аргумент произведения равен сумме аргументов сомножителей).

 

Исходя из формулы (1) индукцией по легко устанавливается, что для любых к.ч.

 

имеет место формула

 

      (4)
 

а следовательно имеют место и формулы

 

,   (5)
и

,   (6)
 

no4 .Извлечение корня -ой степени из комплексного числа.

Положим в (4)

,

 

.

получим формулу -ой степени к.ч.

.

 

 

.   (7)
 

При отсюда следует формула Муавра:

 

.   (8)
Предыдущую формулу (7) также иногда называют формулой Муавра.

 

Нетрудно убедиться, что формула Муавра (8) справедлива не только для целых положительных , но и при неположительных целых .

 

Определение 1. Пусть - натуральное число. Корнем -ой степени из к.ч. называется к.ч. такое, что .

Корень -ой степени из к.ч. обозначается .

 

Найдем все корни -ой степени из к.ч. . Если , то единственным значением является число 0. Поэтому пусть . Запишем в тригонометрической форме

 

и будем искать также в тригонометрической форме

 

.

 

С учетом формулы (7) запишем равенство в виде

 

.

Но данное равенство равносильно следующим равенствам:

 

,

и

,

(здесь учитывается многозначность аргумента к.ч.).

 

Следовательно,

,

а

 

Таким образом, всевозможные корни -ой степени и




<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
СЛАВА РОДУ. СЛАВА КОЛЯДЕ. СЛАВА ДНЮ ПЕРЕМЕН. Метод электротепловой аналогии | Th Century Fox

Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 419. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима...

Схема рефлекторной дуги условного слюноотделительного рефлекса При неоднократном сочетании действия предупреждающего сигнала и безусловного пищевого раздражителя формируются...

Уравнение волны. Уравнение плоской гармонической волны. Волновое уравнение. Уравнение сферической волны Уравнением упругой волны называют функцию , которая определяет смещение любой частицы среды с координатами относительно своего положения равновесия в произвольный момент времени t...

Понятие метода в психологии. Классификация методов психологии и их характеристика Метод – это путь, способ познания, посредством которого познается предмет науки (С...

ЛЕКАРСТВЕННЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ИНЪЕКЦИЙ К лекарственным формам для инъекций относятся водные, спиртовые и масляные растворы, суспензии, эмульсии, ново­галеновые препараты, жидкие органопрепараты и жидкие экс­тракты, а также порошки и таблетки для имплантации...

Тема 5. Организационная структура управления гостиницей 1. Виды организационно – управленческих структур. 2. Организационно – управленческая структура современного ТГК...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.016 сек.) русская версия | украинская версия