Гироскопы

Зав. редакцией А. В. Дубровский

Редактор Н. С. Сафронова

Художественный редактор Л. К. Громова

Технический редактор Е. Ю. Рыбина

Корректор Г. Г. Чечеткина

Н/К

Изд. № ОТ-722. Сдано в набор 14.03.89. Подп. в печать 02.08.89.

Формат 60Х88 1/16. Бум. офсет. № 2. Гарнитура литературная. Печать офсетная.

Объем 3,43 усл. печ. л. 3.55 усл. кр.-отт. 4,58 уч.-изд. л. Тираж 50 000 экз. Зак. № 2025

Цена 10 коп.

Издательство «Высшая школа". 101430, Москва, ГСП-4. Неглинная ул., д. 29/14.

 

 

Московская типография № 4 Союзполиграфпрома при Государственном комитете СССР

по делам издательств, полиграфии и книжной торговли.

129041, Москва, Б. Переяславская ул.. 46.

 

 

Кинетическая энергия вращающегося тела.

Момент инерции материальной точки и тела.

Момент инерции сплошного диска.

Момент силы.

Момент импульса.

6 Уравнение вращательного движения твёрдого тела.

Гироскопы

1. Центр масс твёрдого тела, центр инерции, движение центра масс.

Разбив тело на элементарные массы его можно представить как сумму материальных точек; – радиус вектор, определяемый положением этой элементарной массы.

Центр масс твёрдого тела – точка с радиус-вектором

Можно показать, что для системы материальных точек выполняется уравнение:

– суммарный импульс; сумма всех сил. Продифференцируем по t; найдём скорость центра масс:

и - скорость и импульс частицы.

- импульс системы.

Полный импульс системы можно представить в виде произведения массы на системы на скорость движения центра масс:

тогда

По третьему закону Ньютона:

Теорема о движении центра масс твёрдого тела

Центр масс твёрдого тела движется так, как двигалась бы материальная точка с массой, равной массе тела, под действием всех приложенных сил (центр масс совпадает с центром тяжести тела в однородном поле сил тяжести).

Уравнение даёт возможность установить движение центра масс твёрдого тела, если известна масса тела и действующие на него силы.

2 Кинетическая энергия вращающегося тела. Момент инерции материальной точки твёрдого тела.

Мысленно разобьём тело, вращающееся вокруг неподвижной оси с угловой скоростью на элементарнее массы ; – расстояние от массы до оси; - линейная скорость i -той массы.

; , , модуль.

Тогда кинетическая энергия i -той точки:

Моментом инерции i -той массы тела относительно оси вращения называется произведение массы материальной точки на квадрат её расстояния от оси вращения.

Момент инерции твёрдого тела относительно оси вращения складывается из суммы моментов инерции всех материальных точек, составляющих тело относительно этой оси.

Тогда:

Момент инерции играет роль массы при вращательном движении, то есть это мера инертности тела.

3 Момент инерции сплошного диска.

Рисунок

ρ; – поверхностная плотность (кг/м³)

возьмём тонкое кольцо:

dm = ρds;

ds = 2πrdr → dm = ρ2πrdr ;

Сплошной цилиндр

Кольцо, полый цилиндр

4 Момент силы, момент импульса.

Момент силы относительно точки опоры можно представить в виде векторного произведения радиус-вектора точки приложения силы на силу.

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат и , а направлен по правилу правого винта.

Когда сила приложена к одной из точек твёрдого тела, вектор характеризует способность силы вращать тело вокруг точки О, относительно которой он берётся. Поэтому момент силы называется также вращающим моментом.

Момент импульса материальной точки относительно точки О называется векторная величина:

где - радиус-вектор, определяющий положение частицы относительно точки О, а – импульс частицы.

Вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат вектора и , а направление его по правилу правого винта

L = Yω; по аналогии с P = mv

5 Уравнение вращательного движения твёрдого тела.

Продифференцируем по t

Производная по времени момента импульса материальной точки О равна моменту действующей силы относительно точки О.

Для системы материальных точек:

Для твёрдого тела, как и для системы материальных точек: производная момента импульса по времени равна суммарному моменту внешних сил, действующих на тело.

Это уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.

Изменение момента импульса равно импульсу момента всех сил

M = Yξ; L = Yω;;

 

Поступательное движение	Вращательное движение
m

6 Гироскопы

Гироскопом (волчок) называется симметричное тело, вращающееся с большой скоростью вокруг оси симметрии.

У симметричного тела направление совпадает с .

Гироскоп вращается относительно z сила в течение dt.

Момент импульса получает приращение:

, где - момент силы относительно точки О.

Новое значение момента импульса равно

Наряду с прецессией, возникает нутация оси, размахи у быстро вращающихся волчков малы, ею пренебрегают.

Когда угловая скорость вращения волчка становится меньше определённой величины, он теряет устойчивость и падает.

У медленно вращающегося волчка нутация зыбка. На морских судах и винтовых самолётах имеется много вращающихся частей: вал двигателя, ротор турбины…

При разворотах судна и качке на подшипники действует гироскопическая сила, это учитывают.

Угловая скорость прецессии оказывается пропорциональной величине внешнего момента силы.

Гироскоп (от греческого гирос – круг) – быстро вращающееся симметричное тело, ось вращения которого может изменять своё направление в пространстве.

Гироскоп обладает рядом интересных свойств, наблюдаемых у небесных тел, роторов турбин, установленных на судах и т.д. …

Свойства гироскопа проявляются при выполнении двух условий: