ДЕ 1. Неопределенный интеграл. Отыскание неопределённых интегралов с помощью свойств интегралов и табличных интегралов называется непосредственным интегрированием

1. Непосредственное интегрирование

Отыскание неопределённых интегралов с помощью свойств интегралов и табличных интегралов называется непосредственным интегрированием

Пример 2.

Пример 3

Пример 4

 

 

1. Метод замены переменной (метод подстановки)

В этом случае вводят вспомогательную переменную и дифференцируют полученную подстановку, заменяя тем самым в подынтегральном выражении одну переменную на другую, а в результате сводят данный интеграл к табличному интегралу для новой переменной. Получив результат, возвращаются с помощью подстановки в старой, первоначальной, переменной

Пример 5

Пример 6.

Пример 7.

Пример 8.

 

1. Метод интегрирования по частям

Пусть u=u(x) и v=v(x) - две дифференцируемые функции от х. Вычислим дифференциал произведения этих функций:

d(uv) = (uv)¢dx = (u¢v + v¢u)dx = u¢vdx + v¢udx = (u¢dx)v + u(v¢dx) = vdu + udv

d(uv) = vdu + udv – проинтегрируем это равенство:

Эта формула используется в тех случаях, когда новый интеграл (в правой части формулы) проще исходного.

Пример 9.

Пример 10.

 

Математика

ДЕ 1. Неопределенный интеграл

}

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

Первообразной для функции f (x) на интервале (a, b) называется функция F (x), если...

((V ФАЙЛ))

f¢ (x) = F (x)

((V ФАЙЛ))

f¢; (x) = F¢; (x)

((V ФАЙЛ +))

F¢; (x) = f (x)

((V ФАЙЛ))

f (x) = F (x)

((Q ВЫБОР 1))

Первообразная функция F (x) для функции f (x) = cos x равна...

((V ФАЙЛ))

- cos x + C

((V ФАЙЛ))

- sin x + C

((V ФАЙЛ +))

sin x + C

((V ФАЙЛ))

cos x + C

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

Первообразная для функции равна...

((V ФАЙЛ))

arctg x + C

((V ФАЙЛ))

arcctg x + C

((V ФАЙЛ))

ctg x + C

((V ФАЙЛ +))

tg x + C

((Q ВЫБОР 1))

F (x) - одна из первообразных для функции f (x). Тогда любая первообразная F(x) для функции f (x) равна:

((V ФАЙЛ))

F(x) = F (x) + f (x)

((V ФАЙЛ))

F(x) = f (x)

((V ФАЙЛ +))

F(x) = F (x) + C

((V ФАЙЛ))

F(x) = F (x)

((Q ВЫБОР 1))

Первообразная функция F (x) для функции f (x) = x равна:

((V ФАЙЛ))

x + C

((V ФАЙЛ))

- x + C

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

((Q СООТВ 1))

Соответствие первообразной F (x) функции f (x):

((V 1 1))

((V 1 2))

((V 1 3))

((V 1 4))

((V 1 5))

((V 1 6))

((V 2 1 ФАЙЛ))

((V 2 2 ФАЙЛ))

((V 2 3 ФАЙЛ))

((V 2 4 ФАЙЛ))

((V 2 5 ФАЙЛ))

((V 2 6 ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

F (x) - первообразная для функции f (x). Тогда неопределённым интегралом называется...

((V ФАЙЛ))

сама первообразная F (x)

((V ФАЙЛ))

сумма F (x) + f (x)

((V+))

совокупность всех первообразных F (x) + C

((V))

совокупность всех функций f (x) + C, где С - произвольная постоянная

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

- дифференциал неопределённого интеграла равен...

((V))

f (x)

((V))

F (x)

((V+))

f (x) dx

((V))

F (x) dx

где F (x) - первообразная функции f (x)

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

F (x) - первообразная для функции f (x). Тогда равен...

((V))

f (x)

((V))

F (x)

((V+))

f (x) + C

((V))

F (x) + C

где С - произвольная постоянная

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V))

((V +))

С

((V))

((V))

х

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V))

((V +))

х + С

((V))

х ²

((V))

х ² + С

((Q СООТВ 1))

Соответствие неопределённых интегралов функциям:

((V 1 1 ФАЙЛ))

((V 1 2 ФАЙЛ))

((V 1 3 ФАЙЛ))

((V 1 4 ФАЙЛ))

((V 1 5 ФАЙЛ))

((V 1 6 ФАЙЛ))

((V 2 1 ФАЙЛ))

((V 2 2 ФАЙЛ))

((V 2 3 ФАЙЛ))

((V 2 4 ФАЙЛ))

((V 2 5 ФАЙЛ))

((V 2 6 ФАЙЛ))

((Q СООТВ 1))

Соответствие функций неопределённым интегралам:

((V 1 1 ФАЙЛ))

((V 1 2 ФАЙЛ))

((V 1 3 ФАЙЛ))

((V 1 4 ФАЙЛ))

((V 1 5 ФАЙЛ))

((V 1 6 ФАЙЛ))

((V 2 1 ФАЙЛ))

((V 2 2 ФАЙЛ))

((V 2 3 ФАЙЛ))

((V 2 4 ФАЙЛ))

((V 2 5 ФАЙЛ))

((V 2 6 ФАЙЛ))

((Q СООТВ 1))

Соответствие функций неопределённым интегралам:

((V 1 1 ФАЙЛ))

((V 1 2 ФАЙЛ))

((V 1 3 ФАЙЛ))

((V 1 4 ФАЙЛ))

:

((V 1 5 ФАЙЛ))

((V 1 6 ФАЙЛ))

((V 2 1 ФАЙЛ))

((V 2 2 ФАЙЛ))

((V 2 3 ФАЙЛ))

((V 2 4 ФАЙЛ))

((V 2 5 ФАЙЛ))

((V 2 6 ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1))

равен...

((V))

x + C

((V ФАЙЛ))

2 x ² + C

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

2 x + C

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

сводится к табличному заменой...

((V))

x = t

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ +))

t = x ²

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1))

равен...

((V ФАЙЛ))

e ^{2 x} + C

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

2 e ^{2 x} + C

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

сводится к табличному заменой...

((V ФАЙЛ +))

t = ln x

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

t = ln³ x

((V ФАЙЛ))

t = x

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

(x ² + 4) + C

((V ФАЙЛ))

ln(x ² + 4) + C

((V ФАЙЛ +))

((Q СООТВ 1))

Соответствие функций неопределённым интегралам:

((V 1 1 ФАЙЛ))

((V 1 2 ФАЙЛ))

((V 1 3 ФАЙЛ))

((V 1 4 ФАЙЛ))

((V 1 5 ФАЙЛ))

((V 1 6 ФАЙЛ))

((V 2 1 ФАЙЛ))

((V 2 2 ФАЙЛ))

((V 2 3 ФАЙЛ))

((V 2 4 ФАЙЛ))

((V 2 5 ФАЙЛ))

((V 2 6 ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

Формула интегрирования по частям. ò udv равен...

((V ФАЙЛ +))

uv - ò vdu

((V ФАЙЛ))

u - ò vdu

((V ФАЙЛ))

vu - ò vdu

((V ФАЙЛ))

v - ò udv

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

Применить формулу интегрирования по частям в интеграле ò x ²ln xdx при u =...

((V ФАЙЛ))

x ²

((V ФАЙЛ))

x

((V ФАЙЛ))

x ln x

((V ФАЙЛ +))

ln x

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

Применить формулу интегрирования по частям в интеграле ò x ²cos 2 xdx при u =...

((V ФАЙЛ))

cos2 x

((V ФАЙЛ +))

x ²

((V ФАЙЛ))

x cos2 x

((V ФАЙЛ))

x

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

ò xe ^{- x}dx равен...

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

òarctg xdx равен...

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ))

(x ± a) + C

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ +))

ln| x ± a | + C

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ))

(x + 2)³ + C

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

2(x + 2)² + C

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ +))

arctg(x + 1) + C

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ))

ln(x ² + 4) + C

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ))

arctg(x + 2) + C

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ))

ln| x ² - 4 x + 8 | + C

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ))

ln| x ² - 4 x + 5 | + C

((V ФАЙЛ))

ln| x ² - 4 x + 5 |

((V ФАЙЛ +))

ln| x ² - 4 x + 5 | + 9arctg (x - 2) + C

((V ФАЙЛ))

arctg (x - 2) + C

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ))

ln | x ² + 4 | + C

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

Рациональная дробь (рациональная функции) (P_n (x), Q_m (x) - многочлены степени n и m) является правильной, если...

((V ФАЙЛ))

n £ m

((V ФАЙЛ))

n > m

((V ФАЙЛ +))

n < m

((V ФАЙЛ))

n = m

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ))

ln | x - 2 | - ln | x + 5 | + C

((V ФАЙЛ +))

ln |(x - 2)(x + 5)| + C

((V ФАЙЛ))

ln | x + 5 | - ln | x - 2 | + C

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ))

sin 2 x + C

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

- sin 2 x + C

((Q ВЫБОР 1))

равен...

((V ФАЙЛ))

cos 3 x + C

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

- cos 3 x + C

((V ФАЙЛ +))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ))

ctg x + C

((V ФАЙЛ))

- ctg x + C

((V ФАЙЛ))

tg² x + C

((V ФАЙЛ +))

((Q ВЫБОР 1))

равен...

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1))

равен...

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ +))

((Q ВЫБОР 1))

равен...

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ))

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

((Q ВЫБОР 1 ФАЙЛ))

равен...

((V ФАЙЛ))

2(x - ln (x + 1)) + C

((V ФАЙЛ +))

((V ФАЙЛ))

2(x - ln (x + 1)) + C

((V ФАЙЛ))

((END))