МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ. Утверждено редакционно-издательским советом

С.Н.Федотов

 

 

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ

ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

ПЛОТИНЫ ТРЕУГОЛЬНОГО ПОПЕРЕЧНОГО

СЕЧЕНИЯ

 

 

Утверждено редакционно-издательским советом

университета в качестве методических указаний

по выполнению расчетно-графической работы

 

 

Санкт-Петербург

УДК 539.3/.6

ББК 30.121

Рецензент

Доктор технических наук, профессор

В.Б. Чистов.

 

Сопротивление материалов (часть III. «Основы теории уп­ругости и пластичности»). Исследование напряженного состоя­ния плотины треугольного поперечного сечения: Методические указания по выполнению расчетно-графической работы. /составитель: С.Н.Федотов - СПб.: СПГУВК, 2009.-29с.

 

Приведены задания по выполнению расчетно-графической работы по дисциплине «Сопротивление материалов», методические указания по их выполнению и примеры расчетов.

Предназначены для студентов очной и заочной фор­м обучения по специальности 270104.65 «Гидротехническое строите­ль­ство».

 

 

УДК 539./.6

ББК 30.121

©Санкт-Петербургский государственный

Университет водных коммуникаций, 2009

С О Д Е Р Ж А Н И Е

 

Контрольные задания на выполнение работы ……………….. 4

План исследования ………………………………………………. 4

Методические указания ……………………………………....... 5

Пример выполнения работы…………………………………… 14

Контрольное задание………………………………………… 14

Исследование напряженного состояния плотины …..………….. 14

1. Отыскание компонентов напряженного

состояния в произвольной точке плотины…………….. 14

2. Расчет напряжений ……………………………………… 20

3. Построение линий равных напряжений ………………… 23

4. Построение сетки траекторий главных напряжений…….. 26

5. Построение эллипсов напряжений……………………….. 26

Библиографический список…………………………………….. 29

КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

НА ВЫПОЛНЕНИЕ РАБОТЫ

Исследовать по приведенному ниже плану напряженное состояние пло­тины треугольного профиля, которая испытывает плоскую деформацию в по­перечном направлении под действием гидростатического давления на верти­кальную грань и объемной нагрузки от собственного веса (рис.1). Для расчета нагрузок и напряжений заданы высота Н, угол β при гребне, объемный вес γ_к бетонной кладки тела плотины, объемный вес γ_в воды и уровень ее свободной поверхности.

План исследования

1. Найти зависимости компонентов напряженного состояния от коорди­нат хи у произвольной точки тела плотины, используя полуобратный метод решения плоской задачи теории упругости в напряжениях.

2. Выполнить с помощью найденных зависимостей расчеты компонентов тензора напряжений σ_х, σ_у, τ_ху, показать их эпюры в основании профиля и на его средней горизонтальной линии.‌

3. Построить линии равных главных напряжений σ_min, σ_maх и линии равных наибольших касательных напряжений │τ_max‌‌│‌‌ возникающих на площадках перпендикулярных плоскости хоу.

4. Вычислить в характерных точках углы наклона главных напряжений и построить сетку их траекторий в поперечном сечении плотины.

5. Представить в масштабе эллипсы напряжений в средней и крайних точках основания профиля.

 

Рис. 1. Схема профиля плотины

а)

 

б) в)

 

Рис.2. Граничные условия

Исходные данные взять из таблицы 1 в соответствии с шифром (номером зачетной книжки студента). Значения Н и β выписать из строки, номер которой в таблице 1 совпадает с последней цифрой в шифре, а величину γ_к – из строки с номером, соответствующим предпоследней цифре шифра. Принять γ_в = 10 кн/м³.

Таблица 1

Исходные данные

№ строки	Н, м	β, град	γ, кН/м3
			19,5
			20,0
			20,5
			21,0
			21,5
			22,0
			22,5
			23,0
			23,5
			24,0

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

1. В первом приближении задаться функцией напряжений в виде следующего полинома

φ(х, у) = , (1)

где a, b, c, d – неизвестные постоянные коэффициенты.

Использовать соотношения

σ_х = ; σ_у = ; τ_ху = – – γ_кх (2)

и найти из них с помощью зависимости (1) выражения напряжений через пере­менные х, у постоянные a, b, c, d.

Определить величины a, b, c, d из граничных условий

(3)

на вертикальной и наклонной гранях,

где ν - внешняя нормаль к контуру профиля в рассматриваемой точке;

ℓ‚ m‚ n – направляющие конусы внешней нормали ν; Ρ_νх, Ρ_νу - составляю­щие внешней поверхностной нагрузки по осям координат в данной точке (рис. 2,а).

Подставить найденные величины коэффициентов в выражения напряже­ний и получить расчетные зависимости для вычисления σ_х, σ_у,τ_ху.

Проверить удовлетворяют ли найденные зависимости дифференциаль­ным уравнениям равновесия, уравнению совместности и граничным условиям. Привести в работе выкладки, подтверждающие, что уравнения равновесия

(4)

и уравнение совместности деформаций в напряжениях

²(σ_х+σ_у) = 0 (5)

обращаются в тождества при подстановке в них найденных выражений напряжений.

Для проверки выполнения граничных условий рекомендуется, не прибе­гая к выражениям (3), показать, что напряжения σ_х, σ_у,τ_ху

при х = 0отвечают нагрузке на вертикальную грань и при х = у tgβ - отсутствию нагрузки на на­клонной грани, рассмотрев равновесие прямоугольного элемента, вырезанного у вертикальной и треугольного - у наклонной грани (рис. 2б, 2в).

Завершить проверку выводом о том, требуется корректировка выражений для напряжений в последующих приближениях или нет. Если нет, то присту­пить к вычислениям по этим выражениям.

2. Расчеты напряжений следует выполнять в точках, которые лежат на лучах, выходящих из вершины профиля и разделяющих его основание на ряд равных отрезков. В учебных целях достаточно провести пять лучей с номерами i = 0, l, 2, 3, 4,возрастающими слева направо так, чтобы нулевой луч прошел по вертикальной, а четвертый – по наклонной границам профиля. В этом случае между координатами произвольной точки, лежащей на любом из пяти лучей с номером i, имеет место соотношение

Xi = ytgβ, (6)

с помощью которого целесообразно исключить переменную x из расчетных за­висимостей для напряжений и записать выражения σ_х, σ_у,τ_ху в таблицу 2 в виде линейных функций одного аргумента yдля каждого луча, как показано ниже в примере выполнения РПР.

Получить в таком же виде выражения главных и максимальных каса­тельных напряжений, возникающих на площадках перпендикулярных плоско­сти хоу. Использовать для этого формулы

 

(7)

 

σ_min = (8)

 

|τ|_max = (9)

и поместить результаты расчета в таблицу 2.

Выражения напряжений в таблице 2 должны быть проверены. В частно­сти необходимо проверить выполняется ли закон постоянства суммы нормаль­ных напряжений

σ_x + σ_y = σ_max + σ_min (10)

Убедиться также, что на втором луче σ_y = – 0,5γ_ку, на четвертом σ_max = 0, а σ_min принимает наибольшее по абсолютной величине значение в точке В, и подго­товить устное объяснение этих трех результатов.

По данным таблицы 2 вычислить σ_x, σ_y, τ_ху при у = Н/2, у = Ни построить эпюры перечисленных напряжений.

3. Линии равных напряжений рекомендуется строить в количестве nне менее 5 и не более 10 для каждого из трех семейств кривых σ_min,σ_max,|τ_xy|_max. При построении линий первого семейства следует составить таблицу 3, образец которой приведен ниже в примере выполнения РПР. В первом столбце таблицы записать nзначений σ_min,последовательно возрастающих по абсолютной вели­чине приблизительно до ее максимума с равномерным предварительно вычис­ленным шагом

(11)

и округленным затем до ближайшего к нему меньшего числа кратного 50 кПа или 100 кПа.

Первым в столбец заносится значение σ_min = Δ σ_min,последним – значение σ_min = nΔ σ_min.

Например, если наибольшее сжимающее напряжение в плотине σ_min = –2457 κΠа, а max |σ_min| = 2457 кПаи решено построить 6линий равных напряже­ний этого вида, то шаг без округления

Δ σ_min = = 409,5 кПа

после округления

Δ σ_min = 400 кПа

и значит в таблицу нужно записать 6 следующих значений σ_min:

–400, –800, –1200, –1600, –2000, –2400 кПа

Следует обратить внимание на то, что при σ_min= 0 линия равных минимальных напряжений вырождается в точку 0на вершине профиля плотины, а при σ_min= –2457 кПа - в крайнюю правую точку Воснования.

После заполнения столбца 1 нужно вычислить значения координаты удля точек пересечения линий равных напряжений σ_minскаждым лучом и зане­сти в следующие пять столбцов таблицы 3. Вычисления произвести путем де­ления записанных в первый столбец этой таблицы напряжений на взятые из таблицы 2 множители при ув выражениях σ_min.

По данным таблицы 3 вычертить линии равных напряжений σ_min. Построить таким же образом линии равных напряжений σ_mаx, |τ|_max, предварительно составив и заполнив таблицу 4 и таблицу 5, подобные таблице 3.

4. Воспользоваться определением: траектория главного напряжения – ли­ния, в каждой точке которой вектор, изображающий такое напряжение, касателен к этой линии.

Сделать отсюда вывод, что для построения сетки траекторий нужно предварительно вычислить в ряде точек на лучах значения угла αнаклона главного напряжения σ_mаx к оси xи использовать для этого формулу

(12)

Достаточно определить пять значений: α₀, α₁, α₂, α₃, α₄, подставляя поочередно в формулу (12) данные таблицы 2 для каждого луча.

Эти же углы будут для главного напряжения σ_min к оси Y.

Убедиться, что для всех точек одного и того же луча значение αпосто­янно и поэтому все лучи, исходящие из вершины профиля, представляют собой изоклины.

Учесть, что вертикальная грань плотины является главной площадкой поскольку здесь τ_ху = 0,а потому на нулевом луче расчет по формуле (12) при­водит к одному из двух возможных результатов:

1) при σ_х – σ_min ≠ 0 tgα₀ = 0,откуда α₀ = 0;

2) при σ_х – σ_min = 0 tgα₀ = ∞,откуда α₀ = 90.

Причем второй результат получается путем раскрытия неопределенности вида ø/ø. Таким образом в любой точке нулевого луча σ_mаxнаправлено либо верти­кально, либо горизонтально.

Учесть также, что и наклонная грань является главной площадкой, на ко­торой σ_mаx = 0, а поэтому на четвертом луче искомый угол α₄ = β.

При построении траекторий нужно изобразить в масштабе профиль пло­тины со всеми лучами, а рядом вычертить углы α₀, α₁, α₂, α₃, α₄ с общей вершиной и общей горизонтальной стороной, чтобы иметь пучок прямых в пяти направлениях σ_mаx.

В учебных целях достаточно четырех–пяти траекторий для каждого из двух главных напряжений. В этом случае на второй луч нужно нанести три точки, разделяющие его на четыре равных участка между вершиной и основа­нием профиля.

Чтобы построить одну траекторию σ_mаxследует через любую из этих то­чек, например, через среднюю провести под углом α₂ к горизонтали отрезок так называемого второго направления путем параллельного переноса последне­го с пучка прямых. Левый конец этого отрезка ограничить точкой, лежащей посередине между вторым и первым, а правый – посередине между вторым и третьем лучами. От левого конца отрезка второго направления таким же спосо­бом отложить под углом α₁отрезок первого направления до середины между первым и нулевым лучом, а из правого конца под углом α₃ - отрезок третьего направления до середины между третьим и четвертым лучами. Из левого конца отрезка первого направления провести крайний левый участок траектории σ_mаxперпендикулярно нулевому лучу, если α₀ = 0,или в виде асимптоты к оси у, ес­ли α₀ = 90⁰.Крайний правый ее участок провести из правого конца отрезка третьего направления под углом α₄= β т.е. перпендикулярно четвертому лучу.

После этого нужно перейти к следующей точке на втором луче, получить подобным образом ещё одну траекторию σ_mаxи т.д., включая точку пересече­ния этого луча с основанием профиля.

Далее следует построить на том же чертеже траектории σ_minописанным выше способом, предварительно изобразив для этих напряжений пучок их на­правлений перпендикулярных направлениям σ_mаx. Построения нужно начинать с тех же точек на втором луче и откладывать отрезки второго, первого, третьего и других направлений посредством параллельного переноса последних с этого пучка.

Убедиться, что в полученной сетке траекторий нулевой и четвертый лучи также являются траекториями главных напряжений.

5. Чтобы вычертить эллипс напряжений в заданной точке луча, нужно наметить два пересекающихся в ней взаимно перпендикулярных направления σ_minи σ_mаxперенеся их, например, с изображений пучков. Затем отложить от неё по этим направлениям в противоположные стороны по два равных отрезка, представляющих в выбранном масштабе величины σ_minи σ_mаxв этой точке и являющиеся полуосями эллипса. После этого провести эллипс по четырем вершинам.

Обратить внимание на то, что на четвертом луче эллипс вырождается в отрезок, а на нулевом луче большая ось эллипса располагается вертикально или горизонтально в зависимости от величины угла β. Подготовить устное объяс­нение таких особенностей эллипсов напряжений.

6. Работу представить в сброшюрованном виде на бумаге формата А4 с титульным листом установленного образца. В работе письменно сформулировать задание на её выполнение, изобразить схему профиля (рис.1), указать шифр и выбранные в соответствии с ним исходные данные, изложить теорети­ческие выкладки и расчеты, иллюстрировать граничные условия задачи, как показано на рис.2, привести восемь итоговых графиков: 1) эпюры σ_х,2) эпюры σ_у,3) эпюры τ_ху, 4) линии равных σ_min, 5) линии равных σ_mаx,6) линии равных |τ |_max, 7) траектории σ_min, σ_mаx, 8) эллипсы напряжений.

Каждый график построить на отдельно вычерченном для него профиле плотины в удобном при пользовании стандартном масштабе. Построения ре­комендуется выполнять на миллиметровой бумаге указанного выше формата.

На графиках нанести числовые значения напряжений.

Допускается совмещение сетки траекторий σ_min,σ_mаxи эллипсов напряжений на одном чертеже профиля.

Студентам-заочникам разрешается оформление работы, включая по­строение графиков, в отдельной школьной тетради из бумаги в клетку.