Формулы Келли

 

Начиная с конца 1940-х годов, инженеры компании Bell System работали над про­блемой передачи данных по международным линиям. Проблема, стоящая перед ними, заключалась в том, что линии были подвержены случайному, неизбежному «шуму», который мешал передаче данных. Инженерами компании было предло­жено несколько довольно оригинальных решений. Как это ни странно, наблюда­лись большие сходства между проблемой передачи данных и проблемой геомет­рического роста, которая относится к управлению деньгами в азартных играх (так как обе проблемы являются продуктом случайной среды). Так появилась первая формула Келли.

Первое уравнение выглядит следующим образом:

или

(1.09б) f=P-Q,

где f = оптимальная фиксированная доля;

Р = вероятность выигрышной ставки или сделки;

Q = вероятность проигрыша (1 - Р).

Обе формы уравнения (1.09) эквивалентны.

Уравнения (1.09а) или (1.096) для оптимального f дадут правильный ответ при условии, что выигрыши и проигрыши будут одинаковые по величине. В ка­честве примера рассмотрим следующий поток ставок:

Есть 10 ставок, 6 из них выигрышных, отсюда:

f=(0,6*2)-l =1,2-1=0,2

Если выигрыши и проигрыши не были бы одинакового размера, то эта формула не дала бы правильного ответа. Примером служит бросок монеты в игре «два к одному», где все выигрыши — 2 единицы, а проигрыши — 1 единица.В этом слу­чае формула Келли будет выглядеть следующим образом:

где t = оптимальная фиксированная доля;

Р = вероятность выигрышной ставки или сделки;

В = отношение выигранной суммы по выигрышной ставке к проигран­ной сумме по проигрышной ставке.

В нашем примере с броском монеты в игре «два к одному»:

f=((2+l)*0,5-1)/2 =(3*0,5-1)/2 =0,5/2 = 0,25

Эта формула даст правильный ответ для оптимального f при условии, что все вы­игрыши между собой всегда одинаковы и все проигрыши между собой всегда оди­наковы. Если это не так, формула не даст правильного ответа.

Формулы Келли применимы только к результатам, которые имеют распре­деление Бернулли (распределение с двумя возможными исходами). Торговля, к сожалению, не так проста. Применение формул Келли к иному распределе­нию является ошибкой и не даст нам оптимального f. Более подробно о распреде­лении Бернулли рассказано в приложении В.