Решения. 1. Ни один житель этого острова не может задать вам такой вопрос

 

1. Ни один житель этого острова не может задать вам такой вопрос. Если островитянин, относящийся к типу А, спрашивает: «Принадлежу ли я к типу В?» — правильным ответом на этот вопрос будет «нет» (так как он в самом деле не принадлежит к типу В). Но человек, относящийся к типу А, не может задать вопрос, правильным ответом на который является «нет»; следовательно, ни один островитянин типа А не может задать такой вопрос. Если же такой вопрос задает островитянин типа В, то правильным ответом на него будет «да». Но человек типа В не может задавать вопросы, на которые следует отвечать «да», и следовательно, островитянин типа В тоже никак не может задать подобный вопрос.

2. Тут мы не можем прийти ни к какому выводу. Действительно, любой житель острова может спросить, принадлежит ли он к типу А, поскольку сам он при этом может относиться как к типу А, так и к типу В. Если он относится к типу А, тогда правильным ответом на его вопрос: «Отношусь ли я к типу А?» — является «да», а человек типа А всегда может задать любой вопрос, правильным ответом на который будет «да». С другой стороны, если островитянин принадлежит к типу В, тогда правильным ответом на поставленный вопрос является «нет», а любой островитянин типа В всегда может задать вопрос, правильным ответом на который будет «нет».

3. Прежде всего мы должны выяснить, к какому типу относится Итан. Предположим, что он принадлежит к типу А. Тогда правильным ответом на его вопрос должно быть «да» (поскольку «да» является правильным ответом на вопросы, задаваемые островитянами типа А), а это означало бы, что Итан и Вайолет оба принадлежат к типу В. Тем самым Итан относился бы к типу В, и мы пришли бы к противоречию. Следовательно, Итан не может принадлежать к типу А, а значит, должен относиться к типу В. Далее, поскольку он принадлежит к типу В, правильным ответом на его вопрос будет «нет», и, следовательно, они с Вайолет принадлежат к разным типам. Поэтому Вайолет должна относиться к типу А.

4. Допустим, что Артур принадлежит к типу В. Тогда, действительно, по крайней мере один из братьев относился бы к типу В, а это потребовало бы в качестве правильного ответа «да», что в свою очередь означало бы, что Артур принадлежит к типу А. Таким образом, мы приходим к противоречию, и, следовательно, Артур не может принадлежать к типу В. Стало быть, он относится к типу А. Отсюда следует, что правильным ответом на его вопрос является «да», а это означает, что по крайней мере один из братьев принадлежит к типу В. Так как Артур не принадлежит к типу В, то это должен быть Роберт. Итак, Артур относится к типу А, а Роберт — к типу В.

5. По поводу мистера Гордона нельзя сделать никакого вывода, однако миссис Гордон должна принадлежать к типу В. Основания для такого заключения следующие.

Мистер Гордон относится либо к типу А, либо к типу В. Предположим, что он относится к типу А. Тогда правильным ответом на его вопрос является «да», откуда следует, что супруги принадлежат к разным типам. При этом миссис Гордон должна принадлежать к типу В (поскольку ее муж относится к типу А, а они принадлежат к разным типам). Итак, если мистер Гордон относится к типу А, то его жена должна принадлежать к типу В.

Допустим теперь, что мистер Гордон относится к типу В. Тогда правильным ответом на его вопрос будет «нет»; это означает, что супруги не принадлежат к разным типам, то есть что они относятся к одному и тому же типу. Значит, миссис Гордон тоже относится к типу В. Итак, если мистер Гордон принадлежит к типу В, то и миссис Гордон должна относиться к этому же типу.

Это доказывает, что независимо от того, к какому типу принадлежит мистер Гордон, миссис Гордон обязательно должна принадлежать к типу В.

Другое доказательство — гораздо более простое, но в то же время более изящное — заключается в следующем.

Как мы уже знаем из первой задачи, ни один житель этого острова не может спросить, принадлежит ли он к типу В. Поэтому, если бы миссис Гордон принадлежала к типу А, тогда для островитянина спросить, отличается ли он по типу от миссис Гордон, было бы эквивалентно вопросу, принадлежит ли он к типу В, то есть вопросу, которого он задать не может. Следовательно, миссис Гордон не может принадлежать к типу А.

6. Такая ситуация вполне возможна, но при этом Цорн должен принадлежать к типу В. Самый простой способ убедиться в этом — вспомнить еще раз (см. задачу 1), что ни один житель острова не может спросить, относится ли он к типу В. Поэтому, когда Цорн спрашивает, принадлежит ли он к людям того типа, которые могли бы спросить, относится ли он к типу В, правильным ответом на этот вопрос будет «нет» (так как ни один островитянин не может спросить, относится ли он к типу В). Значит, поскольку правильным ответом является «нет», то, следовательно, Цорн должен принадлежать к типу В.

7. Поскольку островитянин все-таки задал этот вопрос, то, очевидно, он мог его задать. Следовательно, правильным ответом на его вопрос является «да», а сам он относится к типу А.

8. По поводу миссис Клинк нельзя сказать ничего определенного, а ее супруг должен относиться к типу А. Основания для такого вывода следующие. Допустим, что миссис Клинк относится к типу А. Тогда правильным ответом на ее вопрос будет «да», откуда следует, что мистер Клинк мог спросить свою жену, принадлежит ли она к типу А. А поскольку миссис Клинк по предположению принадлежит к типу А, то правильным ответом на этот вопрос будет «да», что позволяет считать мистера Клинка относящимся к типу А. Итак, если миссис Клинк принадлежит к типу А, то ее муж относится к тому же самому типу. Предположим теперь, что миссис Клинк принадлежит к типу В. Тогда правильным ответом на ее вопрос будет «нет», откуда следует, что мистер Клинк не относится к людям того типа, которые могли бы спросить ее, принадлежит ли она к типу А. Поэтому он не мог задать вопрос, правильным ответом на который являлось бы «нет», а значит, должен относиться к типу А. Итак, мистер Клинк относится к типу А, независимо от того, к какому типу принадлежит миссис Клинк.

9. Предположим, что Бетти относится к типу А. Тогда правильным ответом на ее вопрос является «да», и поэтому Джон мог спросить, принадлежит ли по крайней мере один из них к типу В. Но это приводит нас к противоречию: ведь если Джон относится к типу А, то невозможно, чтобы по крайней мере один из супругов принадлежал к типу В. Следовательно. Правильным ответом на его вопрос должно быть «нет», что невозможно для человека, принадлежащего к типу А. Если же Джон относится к типу В, тогда, действительно, по крайней мере один из них принадлежит к типу В, — ведь в этом случае «да» оказывается правильным ответом на его вопрос. Но поскольку ни один человек, относящийся к типу В, не может задать вопрос, правильным ответом на который является «да», то предположение о том, что Бетти принадлежит к типу А, неверно и, значит, она должна относиться к типу В.

Теперь, поскольку Бетти относится к типу В, то правильным ответом на ее вопрос явлется «нет»; отсюда следует, что Джон никак не может спросить ее, принадлежит ли по крайней мере один из них к типу В. Далее, если бы Джон относился к типу А, тогда он в самом деле мог задать такой вопрос, поскольку, действительно, по крайней мере один из них (а именно Бетти) принадлежит к типу В. Но поскольку задать такой вопрос он не может, то, следовательно, он тоже должен относиться к типу В.

Итак, ответ таков: оба супруга принадлежат к типу В.

10. Легче всего строить решение этой задачи поэтапно. Прежде всего докажем следующие два утверждения:

Утверждение 1.

Для любого островитянина X, относящегося к типу А, справедливо следующее: никто из жителей острова не может спросить, принадлежат ли он (она) и этот X к разным типам.

Утверждение 2.

Для любого островитянина X, относящегося к типу В, справедливо следующее: любой обитатель острова всегда может спросить, принадлежат ли он (она) и этот X к разным типам.

Утверждение 1 фактически доказано при решении задачи 5, когда мы убедились, что если бы миссис Гордон относилась к типу А, то мистер Гордон никак не мог бы спросить, принадлежат ли он и его супруга к одному типу.

Что же касается утверждения 2, то в случае, если X относится к типу В, вопрос, относятся ли некто и житель острова X к разным типам, эквивалентен вопросу, принадлежит ли этот некто к типу А, а такой вопрос, как мы уже выяснили при решении задачи 2, может задать любой островитянин. Таким образом, если X принадлежит к типу В, то любой житель острова может спросить X, относится ли он (она) вместе с X к разным типам.

Обратимся теперь к решению самой задачи. Докажем сначала, что правильным ответом на вопрос Алисы является «нет» и поэтому Алиса должна принадлежать к типу В. Другими словами, докажем, что Бетти никак не может спросить Веронику, относится ли Вероника к такому типу людей, которые могли бы спросить Бетти, принадлежат ли Вероника и Бетти к разным типам.

Предположим, что Бетти задает Веронике вопрос, может ли Вероника спросить, относятся ли Вероника и Бетти к разным типам. Тогда мы приходим к следующему противоречию. Действительно, Бетти может относиться как к типу А, так и к типу В. Допустим, что она относится к типу В. Тогда, согласно утверждению 1, Вероника не может спросить, относятся ли они с Бетти к разным типам. Следовательно, ответом на вопрос Бетти является «нет», а такой ответ невозможен, так как Бетти принадлежит к типу А. С другой стороны, предположим, что Бетти относится к типу В. Тогда, согласно утверждению 2, Вероника вполне могла бы спросить, относятся ли они с Бетти к разным типам; это означает, что правильным ответом на вопрос Бетти должно быть «да», что невозможно, поскольку Бетти принадлежит к типу В.

Тем самым доказано, что Бетти никак не может задать Веронике вопрос, о котором Алиса спрашивает

Бетти, могла ли бы она его задать… Поэтому правильным ответом на вопрос Алисы является «нет», и, значит, сама Алиса относится к типу В. Что же касается того, к какому типу относятся Бетти и Вероника, то этого выяснить нельзя.

11. По-моему, это самая занятная задача этой главы. Мы ничего не можем сказать об островитянине, задавшем вопрос Арнольду, но в то же время Арнольд, который и рта не раскрывал (насколько мы это знаем), должен оказаться сумасшедшим. В самом деле, ни один островитянин не мог бы спросить находящегося в здравом уме человека, полагает ли он, что сам островитянин принадлежит к типу В, поскольку вопрос, обращенный к нормальному человеку, считает ли он, что тот или иной факт имеет место, равносилен вопросу, имеет ли этот факт место в действительности. В то же время ни один островитянин не может спросить, принадлежит ли он к типу В. Итак, ни один островитянин, назовем его X, не мог бы спросить находящегося в здравом уме человека, полагает ли он, что сам X относится к типу В.

С другой стороны (а этот факт потребуется нам при решении последующих задач), любой островитянин X мог бы спросить человека, лишившегося рассудка, считает ли тот, что сам X принадлежит к типу В, поскольку спросить об этом безумного равносильно тому, чтобы X спросил, принадлежит ли сам X к типу А, что, как мы уже видели, вполне позволительно для любого островитянина X.

12. По поводу Томаса мы не можем сделать никакого вывода, а островитянин, задавший вопрос, должен принадлежать к типу В. В самом деле, если предположить, что он принадлежит к типу А, то тогда правильным ответом на его вопрос будет «да», откуда следует, что Томас действительно считает, будто островитянин мог бы его спросить, лишился ли он рассудка. Но при этом Томас может оказаться как в здравом уме, так и лишенным рассудка. Предположим, что он находится в здравом уме. Тогда его убеждения правильны, а это в свою очередь означает, что островитянин вполне мог спросить его, лишился ли он рассудка. Однако человек, относящийся к типу А, может задавать только такие вопросы, правильным ответом на которые является «да»; это означало бы, что Томас должен оказаться безумным. Итак, предположение о том, что Томас — нормальный человек, позволяет сделать вывод, что Томас сошел с ума, то есть приводит нас к противоречию. С другой стороны, предположим, что Томас лишился рассудка. Тогда убеждение Томаса в том, что островитянин может его спросить, лишился ли Томас рассудка, ошибочно; следовательно, житель острова никак не может спросить его, лишился ли он рассудка. (В этом случае Томас ответил бы «нет», что невозможно, поскольку по условию островитянин принадлежит к типу А.) Однако если принять, что Томас сошел с ума и что островитянин относится к типу А, то житель острова вполне мог бы, следуя законам острова Вопрошаек, спросить Томаса, лишился ли он рассудка (поскольку правильным ответом на этот вопрос было бы «да»). Итак, предположение о том, что Томас сошел с ума, также приводит нас к противоречию.

Поэтому единственный способ избежать противоречия — это предположить, что островитянин должен относиться не к типу А, а к типу В; в этом случае никаких противоречий не возникает, независимо от того, находится ли Томас в здравом уме или он лишился рассудка.

13. Покажем, что эпизод, о котором рассказал Уильям, никак не мог иметь место в действительности. Поэтому Уильям, который уверен, будто это произошло на самом деле, обязательно должен оказаться безумным.

Итак, пусть подобная история и в самом деле имела место — в этом случае мы сразу приходим к противоречию. Действительно, предположим поначалу, что Томас— нормальный человек. Тогда его утверждения верны, откуда следует, что Хал вполне мог спросить Томаса, считает ли тот, будто Хал принадлежит к типу В. Но в соответствии с решением задачи 11 из этого следует, что Томас лишился рассудка! А это противоречит предположению, что Томас — нормальный человек. С другой стороны, допустим, что Томас сошел с ума. Тогда его утверждения ошибочны, и, следовательно, Хал никак не мог бы спросить Томаса, считает ли он, будто Хал относится к типу В. Но, как мы видели в задаче 11, житель острова вполне может спросить человека, лишившегося рассудка, считает ли он, что сам островитянин принадлежит к типу В. Итак, в этом случае мы вновь приходим к противоречию.

Единственный способ избежать противоречия — это принять, что Томас никогда не задавал такой вопрос ни одному островитянину, а Уильям просто вообразил себе, будто Томас это сделал.

14. Здесь могут сработать самые разные вопросы; мне больше всего нравится такой: «Отношусь ли я к людям, которые могут спросить, имеется ли на этом острове волшебник?»

Предположим, что тот, кто спрашивает, принадлежит к типу А. Тогда правильным ответом на его вопрос является «да». Человек, задающий вопрос, вполне может спросить, имеется ли на острове волшебник. Поскольку этот человек принадлежит к типу А, то он может спросить, имеется ли на острове волшебник только в том случае, если на острове в самом деле есть волшебник (с тем, чтобы правильным ответом оказалось бы «да»). Таким образом, если спрашивающий принадлежит к типу А, то на острове непременно должен быть волшебник.

Предположим теперь, что тот, кто спрашивает, относится к типу В. Тогда правильным ответом на его вопрос будет «нет», а это означает, что он не может спросить, имеется ли на острове волшебник. Далее, если бы на острове волшебника не было, то человек, задавший подобный вопрос (так как он принадлежит к типу В), вполне мог бы спросить, имеется ли на острове волшебник (поскольку правильным ответом в таком случае являлось бы «нет»). Однако поскольку островитянин не может (как мы убедились) задать этот вопрос, то отсюда следует, что на острове действительно должен быть волшебник. Тем самым доказано, что если человек, задающий вопрос, принадлежит к типу В, то на острове имеется волшебник. Итак, независимо от того, принадлежит спрашивающий к типу А или к типу В, на острове обязательно должен оказаться волшебник.

15. Конечно же, нет!

16. Единственный вывод, который можно сделать, — это то, что Бернард Грин не является волшебником (на основании тех же рассуждений, что и при решении задачи 14).

17. Единственный вывод, который можно сделать, — это то, что волшебник принадлежит к людям, которые могли бы спросить, волшебник ли Чарлз Мэнсфилд.

(Напомним, что, как мы выяснили при решении задачи 11, в случае, если островитянин спрашивает: «Принадлежу ли я к людям, которые могли бы спросить, имеет ли место какое-либо утверждение?», то это утверждение обязательно должно оказаться истиной.)

18. Все, что мы можем сказать, — это то, что Дэниел Мотт не является волшебником (потому что волшебник не может спросить, относится ли он сам к типу В; ведь на самом деле никто не может спросить, относится ли он к типу В).

19. Из того, что Эдвин Друд спрашивает сам по себе, невозможно заключить, кто же является волшебником. Но если использовать не только его вопрос, но и ранее заданные вопросы, то задача становится вполне разрешимой!

Прежде всего из вопроса Эдвина Друда следует, что волшебник должен принадлежать к типу А. В самом деле, предположим, например, что Эдвин относится к типу А; тогда правильным ответом на его вопрос будет «да». Поэтому и он, и волшебник фактически должны принадлежать к одному и тому же типу, а значит, волшебник тоже должен относиться к типу А. С другой стороны, предположим, что Эдвин относится к типу В. Тогда правильным ответом на его вопрос окажется «нет», откуда следует, что волшебник не может принадлежать к тому же типу, что и Эдвин. Но поскольку Эдвин относится к типу В, а волшебник к этому типу не принадлежит, то волшебник опять-таки должен относиться к типу А. Итак, мы доказали, что волшебник принадлежит к типу А. Далее, как мы установили при решении задачи 17, волшебник вполне мог бы спросить, не является ли волшебником Чарльз Мэнсфилд. Но поскольку волшебник принадлежит к типу А, то правильным ответом на этот вопрос является «да». Следовательно, волшебником должен быть Чарльз Мэнсфилд!

Призовая задача. Я уже рассказывал вам, что Арнольд, Томас и Уильям в конце концов единодушно согласились с тем, что жизнь вне стен лечебницы для душевнобольных оказалась еще более безумной, чем в чем в ней самой. Поэтому так как Томас согласен с Арнольдом и Уильямом, которые лишены рассудка, то и сам Томас также должен оказаться безумным.