Студопедия — Загадка Гёделя
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Загадка Гёделя






 

— Итак, — продолжал Фергюссон, — если задана некоторая система аксиом, то доказательство в данной системе представляет собой конечную последовательность высказываний, построенную по очень строгим правилам. При этом оказывается совсем несложно чисто механическим путем решить, является ли данная последовательность высказываний доказательством в этой системе или нет. Собственно говоря, совсем несложно даже придумать машину, которая может это делать. Гораздо труднее оказывается создать такую машину, которая могла бы решать, какие высказывания в данной системе аксиом доказуемы, а какие нет.

— Ответ, я полагаю, зависит от выбора исходной системы аксиом…

— Сейчас меня интересуют вопросы механического доказательства теорем, то есть вопросы создания таких машин, которые могли бы доказывать различные математические истины. Вот, например, мое последнее детище, — сказал Фергюссон, с гордостью указав на какое-то престранное сооружение.

Крейг и Мак-Каллох несколько минут разглядывали машину, пытаясь разгадать ее назначение.

— И что же она умеет? — спросил наконец Крейг.

— Она может доказывать различные утверждения, касающиеся положительных целых чисел, — ответил Фергюссон. — Я использую язык, в котором имеются имена для разных множеств чисел, — точнее, подмножеств положительных целых чисел. При этом существует бесконечно много таких числовых множеств, которые поддаются наименованию на этом языке. Например, у нас имеются специальные названия для множества четных чисел, для множества нечетных чисел, для множества простых чисел, для множества чисел, делящихся на 3, и т. д. — вообще, можно сказать, что практически любое множество чисел, которое могло бы представить интерес для специалиста по теории чисел, обладает своим именем на этом языке. И хотя сама совокупность числовых множеств, поддающихся описанию на этом языке, содержит бесконечно много элементов, она (по мощности. — Перев.) будет все же не больше, чем множество всех положительных чисел. С каждым положительным целым числом n оказывается связанным определенное множество чисел Аn, имеющее имя на нашем языке — это позволяет представить себе, что все именуемые множества расположены в виде последовательности А1, А2…., Аn… (Если хотите, можете вообразить себе, например, книгу с бесконечным числом страниц, причем для каждого целого положительного n на соответствующей n-й странице приведено описание того или иного множества положительных целых чисел. Тогда система An — это множество, описанное на n-й странице этой книги.)

Введем теперь математический символ Є, который означает «принадлежит» или «является членом». Для каждого числа х и произвольного числа у мы можем сформировать утверждение х Є Ау, которое означает, что х принадлежит множеству Ау. Это единственный вид утверждений, которые воспринимает моя машина. При этом задача машины состоит в том, чтобы определить, какие числа каким поддающимся описанию множествам принадлежат.

Далее, каждое утверждение х Є Ау имеет свой кодовый номер — число, которое, будучи записано в обычной десятичной системе счисления, состоит из цепочки единиц длиной х и следующей за ней цепочки нулей длиной у. Например, кодовый номер утверждения З Є А2 выглядит как 11100; кодовый номер утверждения 1 Є А5 имеет вид 100000. При этом кодовый номер утверждения х Є Ау, то есть число, состоящее из х единиц и следующих за ними у нулей, я буду обозначать символом х*у.

— Машина работает следующим образом, — продолжал Фергюссон. — Когда она обнаруживает, что число х принадлежит множеству Ау, то она отпечатывает число х*у, то есть кодовый номер утверждения х Є Ау. Если при этом машина печатает число х*у, то я говорю, что машина доказала утверждение х Є Ау. Кроме того, если машина способна напечатать число х*у, то я говорю, что утверждение х Є Ау доказуемо (с помощью моей машины).

Наконец, я знаю, что моя машина всегда точна — в том смысле, что каждое утверждение, которое можно доказать с ее помощью, является истинным.

— Минуточку, — вмешался Крейг. — Что значит «является истинным»? Какая разница между «является истинным» и «доказуемо»?

— Да это же совершенно разные вещи, — объяснил Фергюссон. — Я говорю, что утверждение х Є Ау истинно, если х действительно является элементом множества А у. Если же оказывается, что машина способна напечатать число х*у, тогда я говорю, что утверждение х Є А, доказуемо с помощью моей машины.

— Вот теперь ясно, — сказал Крейг. — Другими словами, утверждая, что ваша машина точна — или, иначе, что каждое утверждение, доказуемое с помощью машины, является истинным, — вы имеете в виду, что ваша машина никогда не напечатает число х*у, если х в действительности не принадлежит множеству Ау. Правильно я понял?

— Совершенно верно! — ответил Фергюссон.

— Скажите, а почему вы так уверены, что машина всегда точна? — спросил Крейг.

— Чтобы ответить на этот вопрос, я должен рассказать о ней более подробно, — ответил Фергюссон. — Дело в том, что машина работает на основе определенных аксиом относительно положительных целых чисел; эти аксиомы запрограммированы в машине в виде неких команд. Все эти аксиомы представляют собой хорошо известные математические истины. При этом машина не может доказать какое-либо утверждение, если оно не вытекает логически из этих аксиом. Но поскольку все аксиомы истинны, а любое логическое следствие из истинных утверждений тоже является истинным, то, стало быть, машина не способна доказать ложное утверждение. Если хотите, я могу перечислить эти аксиомы, и вы убедитесь сами, что машина действительно может доказывать только истинные утверждения.

— Сначала я хотел бы выяснить вот что, — сказал Мак-Каллох. — Допустим на некоторое время, что любое утверждение, доказуемое с помощью вашей машины, на самом деле является истинным. Значит ли это, что любое истинное утверждение вида х Є А, доказуемо с ее помощью? Иначе говоря, способна ли ваша машина доказывать все истинные утверждения типа х Є Ау или только некоторые из них?

— Это очень важный вопрос, — ответил Фергюссон, — но, увы, ответа на него я не знаю. В этом-то как раз и состоит главная проблема, которую я никак не могу разрешить! Уже не один месяц я пытаюсь найти ответ на этот вопрос, но пока безуспешно. Так, я совершенно точно знаю, что моя машина может доказать любое утверждение вида х Є Ау, которое является логическим следствием заложенных в нее аксиом, однако я не знаю, достаточное ли количество аксиом введено мною в машину. Аксиомы, о которых идет речь, представляют собой нечто вроде общей суммы сведений, известных математикам относительно системы положительных целых чисел; и все же, может быть, их недостаточно, чтобы строго установить, какие же числа х и к каким поддающимся описанию множествам Ау принадлежат. До сих пор любое утверждение вида х Є Ау, которое я считал истинным, исходя из чисто математических соображений, оказывалось логическим следствием заложенных в машину аксиом; при этом машина способна доказать любое взятое мною утверждение такого вида. Однако то, что я не сумел найти истинного утверждения, которое машина не могла бы доказать, вовсе не означает, что такого утверждения не существует — может быть, я его просто еще не обнаружил. В то же время вполне может оказаться, что машина действительно способна доказать все истинные утверждения — но этого я тоже еще не сумел доказать. Пока я просто не знаю, как это сделать!

Короче говоря, после этого Фергюссон подробно объяснил Крейгу и Мак-Каллоху, какие аксиомы заложены в машину и какие чисто логические правила позволяют доказывать новые утверждения на основании уже имеющихся. Все эти подробности вполне убедили Крейга и Мак-Каллоха в том, что машина на самом деле точна — что она действительно доказывает лишь истинные утверждения. Однако вопрос о том, может ли машина доказать все истинные утверждения или только некоторые из них, так и остался нерешенным. На протяжении нескольких последующих месяцев они часто собирались вместе для детального обсуждения возникших вопросов — пока, наконец, задача не была полностью решена.

Я не стану утомлять читателя и приводить все подробности полученного ими решения; упомяну лишь о том, что действительно представляется для нас важным. Переломный момент в их исследованиях наступил тогда, когда друзья в конце концов сумели сформулировать три ключевые особенности машины; этого оказалось достаточно для полного решения задачи. Кажется, первыми обратили внимание на эти особенности Крейг и Мак-Каллох, однако их окончательная формулировка принадлежит Фергюссону. Но прежде чем перейти к описанию особенностей машины. я позволю себе сделать небольшое отступление.

Для любого множества А положительных целых чисел, под его дополнением А понимается множество положительных целых чисел, не входящих в А. Например, если А — множество четных чисел, то его дополнением А будет множество нечетных чисел; если А — множество чисел, делящихся на 5, то А — это множество чисел, которые на 5 не делятся.

Для любого множества А положительных целых чисел под А* мы будем подразумевать множество всех положительных целых чисел х, для которых х*х является элементом множества А. Поэтому для любого числа х выражение «число х принадлежит множеству А*» эквивалентно выражению «число х*х принадлежит множеству А».

А теперь перечислим три главные особенности данной машины, которые были обнаружены Крейгом и Мак-Каллохом.

Свойство 1. Множество А8 — это множество всех чисел, которые машина может напечатать.

Свойство 2. Для любого положительного целого числа n множество А3* является дополнением множества А3n. (При этом под символом 3n мы понимаем 3, умноженное на n.)

Свойство 3. Для любого положительного целого числа и множество A3n+1 представляет собой множество An* (то есть множество всех чисел х, для которых число х*x принадлежит множеству An).

 

1. С помощью свойств 1–3 можно, оказывается, строго показать, что машина Фергюссона не способна доказать все истинные утверждения. Читателю предлагается найти такое утверждение, которое является истинным, но при этом не может быть доказано с помощью этой машины. Иначе говоря, мы должны найти такие числа пит (они могут быть как одинаковыми, так и разными), для которых кодовый номер утверждения n Є Аn—то есть число n*m — не мог бы быть напечатан машиной, но чтобы при этом число n являлось бы элементом множества А п.

 

2. В решении задачи 1, которое приведено ниже, числа n и m оба меньше 100. Имеется и другое решение этой задачи, для которого числа n, m также оказываются меньше 100 (при этом они опять могут быть как одинаковыми, так и разными). Сумеет ли читатель найти это решение?

 

3. Если не ограничивать сверху величину чисел n и m, то сколько всего решений может быть у такой задачи? Иначе, сколько существует истинных утверждений, которые недоказуемы с помощью машины Фергюссона?

 

Заключение

 

Фергюссон вовсе не хотел отказываться от идеи создания такой машины, которая могла бы доказывать арифметические истины, не будучи в состоянии доказывать ложные заключения, поэтому он напридумывал целую кучу таких логических машин.[7]Однако для каждой новой машины либо он сам, либо Крейг с Мак-Каллохом все-таки находили такое истинное утверждение, которое машина доказать не могла. Поэтому в конце концов Фергюссон отказался от мысли сконструировать чисто механическое устройство, которое было бы одновременно и точным (в указанном выше смысле. — Перев.), и могло бы доказать любое истинное арифметическое утверждение.

Итак, все героические попытки Фергюссона не увенчались успехом, однако причина этого заключалась отнюдь не в недостатке авторской изобретательности. Мы не должны забывать о том, что он жил за несколько десятилетий до знаменитых открытий таких известных логиков, как Гёдель, Тарский, Клини, Тьюринг, Пост, Черч и другие ученые, о работах которых у нас вот-вот пойдет речь. Если бы Фергюссон дожил до этих открытий, то он понял бы, что неудачи его обусловлены исключительно тем, что он пытался создать нечто по сути своей совершенно невозможное! Поэтому, отдав должное Фергюссону и его коллегам Крейгу и Мак-Каллоху, распрощаемся с ними и перенесемся на три-четыре десятилетия вперед, в переломный 1931 год.

 







Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 390. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Эндоскопическая диагностика язвенной болезни желудка, гастрита, опухоли Хронический гастрит - понятие клинико-анатомическое, характеризующееся определенными патоморфологическими изменениями слизистой оболочки желудка - неспецифическим воспалительным процессом...

Признаки классификации безопасности Можно выделить следующие признаки классификации безопасности. 1. По признаку масштабности принято различать следующие относительно самостоятельные геополитические уровни и виды безопасности. 1.1. Международная безопасность (глобальная и...

Прием и регистрация больных Пути госпитализации больных в стационар могут быть различны. В цен­тральное приемное отделение больные могут быть доставлены: 1) машиной скорой медицинской помощи в случае возникновения остро­го или обострения хронического заболевания...

Методика исследования периферических лимфатических узлов. Исследование периферических лимфатических узлов производится с помощью осмотра и пальпации...

Роль органов чувств в ориентировке слепых Процесс ориентации протекает на основе совместной, интегративной деятельности сохранных анализаторов, каждый из которых при определенных объективных условиях может выступать как ведущий...

Лечебно-охранительный режим, его элементы и значение.   Терапевтическое воздействие на пациента подразумевает не только использование всех видов лечения, но и применение лечебно-охранительного режима – соблюдение условий поведения, способствующих выздоровлению...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия