Студопедия — Ключевые понятия
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Ключевые понятия






 

Производная. Первообразная. Неопределенный интеграл. Интегрирование. Подынтегральная функция. Подынтегральное выражение. Переменная интегрирования. Интегральная кривая. Непосредственное интегрирование. Интегрирование заменой переменной. Интегрирование по частям.

 

 

Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл

 

Одной из основных задач дифференциального исчисления является отыскание производной заданной функции. В интегральном исчислении решается обратная задача: по данной функции найти функцию , производная которой была бы равна функции , т.е. . Искомую функцию называют первообразной для функции .

 

Определение 1. Функция называется первообразной для функции на интервале , если она дифференцируема на и для любого выполняется равенство

.

Например, функция является первообразной для функции на всей числовой прямой, так как при любом значении , т.е. выполняется равенство ; функция является первообразной для функции на всей числовой прямой, так как в каждой точке .

Задача отыскания по данной функции ее первообразной решается неоднозначно. Действительно, если является первообразной для функции , т.е. , то функция , где C – произвольная постоянная, также является первообразной для , так как . Например, для функции первообразной является не только функция , но и функция , так как . Таким образом, справедлива следующая теорема:

 

Теорема 1. Если функция является первообразной для функции на интервале , то множество всех первообразных для задается формулой , где C – произвольная постоянная.

Определение 2. Множество всех первообразных функций для функции на интервале называется неопределенным интегралом от функции на этом интервале и обозначается символом , где – знак интеграла; – подынтегральная функция; – подынтегральное выражение; – переменная интегрирования.

Таким образом:

,

где – некоторая первообразная для на интервале ; C – произвольная постоянная.

Например, поскольку функция является первообразной для функции , то .

Операция нахождения неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием этой функции. Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.

Пример 1. Проверить, что .

Решение. Продифференцируем результат интегрирования:

. Получили подынтегральную функцию, следовательно, интегрирование выполнено верно.

Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство плоских кривых , смещенных относительно друг друга вдоль оси . График каждой первообразной (кривой) называется интегральной кривой.

 







Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 493. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ МОЗГА ПОЗВОНОЧНЫХ Ихтиопсидный тип мозга характерен для низших позвоночных - рыб и амфибий...

Принципы, критерии и методы оценки и аттестации персонала   Аттестация персонала является одной их важнейших функций управления персоналом...

Пункты решения командира взвода на организацию боя. уяснение полученной задачи; оценка обстановки; принятие решения; проведение рекогносцировки; отдача боевого приказа; организация взаимодействия...

В эволюции растений и животных. Цель: выявить ароморфозы и идиоадаптации у растений Цель: выявить ароморфозы и идиоадаптации у растений. Оборудование: гербарные растения, чучела хордовых (рыб, земноводных, птиц, пресмыкающихся, млекопитающих), коллекции насекомых, влажные препараты паразитических червей, мох, хвощ, папоротник...

Типовые примеры и методы их решения. Пример 2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно Пример 2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка...

Выработка навыка зеркального письма (динамический стереотип) Цель работы: Проследить особенности образования любого навыка (динамического стереотипа) на примере выработки навыка зеркального письма...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия