Гипербола. Определение 2. Гиперболой называется линия, представляющая множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек

 

Определение 2. Гиперболой называется линия, представляющая множество точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Вывод уравнения гиперболы аналогичен выводу уравнения эллипса. Так же, как и для эллипса, выберем систему координат и сделаем обозначения. Только теперь вместо равенства (1) будет выполняться для любой точки гиперболы равенство

. (12)

Так как в должно выполняться условие

,

то

или .

Находим и и подставляем в (12). Затем проделываем аналогичные преобразования, позволяющие избавиться от корней. Так как , то обозначим

. (13)

Окончательно получим каноническое уравнение гиперболы

. (14)

 

Форма гиперболы

 

1. Гипербола симметрична относительно осей и и начала координат . Это следует их того, что переменные и входят в уравнение только во второй степени.

2. Так как

,

то . С увеличением будет увеличиваться и .

3. Гипербола пересекает ось в точках и – вершинах гиперболы. С осью пересечений нет.

Ось называется действительной осью гиперболы, а ось – мнимой осью.

4. У гиперболы существуют асимптоты – прямые линии, к которым неограниченно приближаются точки гиперболы при удалении в бесконечность от начала координат.

Уравнения этих прямых имеют вид:

.