Зависимость релаксации фотопроводимости от объемного времени жизни и скорости поверхностной рекомбинации.
Рассмотрим, как будет изменяться во времени интегральная величина избыточной концентрации ННЗ после выключения засветки. В простейшем случае – при однородной по объему генерации и отсутствии поверхностной рекомбинации – (7) Dn(t) = Dn0 exp(-t/t) Условие однородности генерации: d<< 1/a для засветки любой длительности и d<<L – для длительной подсветки (t>3t). Технически реализуемые и позволяющие получить детектируемые величины сигналов ФП коэффициенты поглощения 1/a» 100 – 300 мкм, поэтому даже для пластин это условие практически не выполняется и необходимо учитывать неоднородность генерации ННЗ по глубине образца. Поверхностная рекомбинация также может заметно изменить кинетику спада сигнала ФП. Для анализа такого рода процессов необходимо решение уравнения непрерывности (10) с граничными условиями типа (16). Такое решение, впервые изложенное в [10], использовалось для анализа кинетики фотопроводимости и заложено в качестве основы в стандарт [3] в части оценки вклада поверхностной рекомбинации, затем анализировалось для случая засветки d-импульсом тонких пластин [11], что и было заложено в качестве основы в стандарт [4] по бесконтактному СВЧ методу. Пусть имеется однородный полупроводниковый образец в виде прямоугольного параллелепипеда, ограниченный плоскостями х=±а, у=±b, z=±w. Полупроводник имеет электропроводность p-типа, поэтому диффузия носителей заряда определяется диффузией электронов. Кроме того, центры прилипания отсутствуют, а уровень возбуждения низкий. Уравнение непрерывности имеет вид
Предположим, что в уравнении (29) напряженность электрического поля равна нулю. При любом начальном распределении неравновесных носителей заряда и граничных условиях, заданных на поверхностях образца значениями скорости поверхностной рекомбинации, общее решение уравнения (29) записывается в виде линейной комбинации собственных функций. Решая уравнение (29) методом разделения переменных, т.е. считая Dn=(x, y, z, t)= Dn(x) Dn(y) Dn(z) Dn(t), получим Dn=(x, y, z, t)=G cos (Ax)cos(By)cos(Cz)*exp(-t(1/tn+Dn(A2+B2+C2))) (30) Для нахождения коэффициентов А,В,С следует воспользоваться граничными условиями на поверхностях образца:
Соотношения (31) приводят к трансцендентным уравнениям, которые определяют набор возможных значений Ai, Bj, Ck. Введя обозначения Aiа=xi, Bjb=hj, Ckw=zk, произведем суммирование и найдем общее решение уравнения (30):
где Dnijk - та часть избыточной концентрации носителей заряда, которая описывается данной собственной функцией с амплитудой Gijk. Коэффициенты Gijk вычисляют по начальному условию, т.е. по распределению носителей заряда в образце при t=0. Т.о. мы получили важный вывод: при наличии поверхностной рекомбинации спад фотопроводимости будет определяться суммой нескольких экспонент, т.е. мгновенное время жизни будет меняться даже при низком уровне инжекции. Конкретный вид кривой спада будет определяться первоначальным распределением концентрации ННЗ. Зависимость Dnijk от времени t содержит две экспоненциальные составляющие: exp (-t/tn), связанную с рекомбинацией носителей заряда в объеме образца, и exp(-vijkt), связанную с поверхностной рекомбинацией. Учет граничных условий (32) позволяет получить следующие соотношения, связывающие величины xi,hj, zk и s:
Как показывает анализ, трансцендентные уравнения, которые определяют значения xi,hj, zk имеют первое решение в интервале 0-p/2, второе решение – в интервале p - 1,5p и т.д., причем x1=h1=z1=0 при s=0 и x1=h1=z1=p/2 при s®ђ. Таким образом, основная гармоника Dn111 соответствует наименьшим собственным значениям x1, h1, z1 и характеризуется эффективным временен жизни
где v111 = Dn(x12/a2+ h12/b2+z12/w2) определяется поверхностной рекомбинацией и представляет собой наименьшее значение из всех возможных vijk. По мере восстановления термодинамического равновесия основная гармоника спада v111 начинает преобладать над остальными гармониками, так как она характеризуется наибольшей постоянной времени. Интервал времени, по истечении которого величина Значительно сложнее проанализировать спад фотопроводимости, когда генерация носителей заряда происходит в течение некоторого времени, так как начальное распределение носителей заряда не является однородным. Если же генерация происходит с постоянной скоростью в течение длительного времени, то в образце устанавливается стационарное распределение носителей заряда и задача упрощается. Относительное влияние поверхностной рекомбинации на постоянную времени тем меньше, чем больше геометрические размеры образца и чем ниже скорость поверхностной рекомбинации на его свободных поверхностях. Проанализируем частные случаи, для которых величина n111 выражается более простыми формулами. Если принять, что скорость поверхностной рекомбинации бесконечно велика на гранях х=±а, что обычно реализуется на границе с омическим контактом, и равна нулю на других плоскостях, то
Очевидно, что формулу (35) можно использовать для вычисления объемного времени жизни, если эффективное время жизни 1/tэф=1/tn+v111 известно из измерений:
Такая же возможность возникает и в том случае, когда на всех поверхностях скорость рекомбинации очень велика
Если воздействию импульса света подвергается часть образца, расположенная на таком расстоянии от контактов, когда они не оказывают влияния на процессы рекомбинации, то
Для образца в виде тонкой пластины различие между обьемным и эффективным временем жизни, т.е. разность 1/tn – 1/tэф зависит в основном от толщины пластины, поскольку w<<a, b. На рис. 7 и 8 представлены теоретически рассчитанные в соответствии с (37) зависимости минимальной толщины пластины dmin от объемного времени жизни, при которой измеренное значение tэф занижено по сравнению с объемным временем жизни не более чем на 15, 10 и 5% для линий 2, 3 и 4 соответственно в p и n-Si сответственно. Это означает, что для материала p типа при толщине пластины 2 мм поверхностная рекомбинация не будет влиять на результаты измерений для объемного времени, меньшего 10 – 15 мкс (в зависимости от точности измерений.) Используя предельные времена поверхностной рекомбинации, можно оценить верхний предел возможного значения объемного времени жизни. Так, если измеренное эффективное время жизни на той же пластине составило 60 мкс, объемное время жизни может лежать в пределах 60 –130 мкс. Очевидной проверкой в таком случае является зависимость измеренного времени от пассивации поверхности. Способы пассивации предлагаются в [4]. В том случае, когда скорость поверхностной рекомбинации принимает одинаковые малые конечные значения на свободных поверхностях, sb/Dn=h2, sw/Dn=z2 . При этом 1/tэф=1/tn+s(1/b+1/w) (40) Для тонких пластин (35) b>> w=d/2, поэтому можно оценить время поверхностной рекомбинации как ts = d/(2S) (41)
Программа расчета спада фотопроводимости
Так как рассчитать уравнение непрерывности в реальных условиях представляется невозможным, то мы будем использовать численный метод конечных разностей, представленный в программе ниже. В одномерном случае уравнение () записывается в виде:
Для расчета начального стационарного распределения неравновенсных носителей заряда по толщине образца решаем уравнение:
На рис. ---- представлен интерфейс программы расчета уравнения непрерывности в одномерном слцчае.
Рис. 1. Интер Цифрами обозначены следующие параметры программы:
Для расчета статического распределения зарядов мы должны выбрать такие величины как: 1)толщина образца 2)скорость поверхностной рекомбнации 3)выбор типа электропроводности 4) параметры рекомбинационного центра
Первый этап этап – расчет стационарного распределения
после чего мы нажимаем кнопку расчет статистического распределения и получаем интерфейс такого вида:
|
(29)
при х=±а (31)
при х=±b
при х=±z
(32)
(33)
(34)
(35)
становится достаточно близкой к 
, зависит от соотношения амплитуд гармоник Gijk. В самом простом случае дельта-образного импульса света и однородного начального распределения носителей заряда в начале спада основная гармоника описывает релаксацию около двух третей избыточной концентрации носителей заряда при s ®ђ.
(36)
(37)
(38)
(39)
,.
