Основные свойства определенного интеграла

 

 

= +

Постоянный множитель C можно выносить за знак определенного интеграла.

Определенный интеграл от суммы (разности) непрерывных функций равен сумме (разности) определенных интегралов.

 

Приложение определенного интеграла

И его геометрический смысл

Площадь фигуры, ограниченной кривой y = f(x), осью Ох и двумя вертикальными прямыми х = а и х = b (а < b), вычисляется по формуле:

S = , при условии f(x) ³ 0 на отрезке [a,b].

В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла, то есть данный определенный интеграл численно равен площади указанной криволинейной трапеции.

Если фигура ограничена графиком непрерывной и неположительной на отрезке [a,b ] функции f(x), осью Ох и прямыми х = а, х = b, то площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле:

S = - , где f(x) £ 0 на отрезке [a,b]

Пример

Дано: y = х, у = 0, пределы интегрирования: а = 0, b = 4

Решение

Фигура представляет собой прямоугольный треугольник с катетами равными 4 ед.

S = = = (4² – 0) = 8.

 

Замена переменной в определенном интеграле

 

ф¢(t)dt,

где х = ф(t) – функция непрерывная вместе со своей производной на отрезке

a £ t £b. При замене переменной в определенном интеграле необходимо заменить пределы интегрирования таким образом: a = ф (a) и b = ф (b).