Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.Линейным уравнением 1-го порядка называется уравнение, линейное относительно искомой функции и ее производной. Оно имеет вид: , (7.1) Где P(X) И Q(X) – заданные непрерывные функции от X. Если функция , То уравнение (7.1) имеет вид: (7.2) И называется линейным однородным уравнением, в противном случае оно называется линейным неоднородным уравнением. Линейное однородное дифференциальное уравнение (7.2) является уравнением с разделяющимися переменными: (7.3) Выражение (7.3) есть общее решение уравнения (7.2). Чтобы найти общее решение уравнения (7.1), в котором функция P(X) обозначает ту же функцию, что и в уравнении (7.2), применим прием, называемый методом вариации произвольной постоянной и состоящий в следующем: постараемся подобрать функцию С=С(X) Так, чтобы общее решение линейного однородного уравнения (7.2) являлось бы решением неоднородного линейного уравнения (7.1). Тогда для производной функции (7.3) получим: . Подставляя найденную производную в уравнение (7.1), будем иметь: Или . Откуда , где - произвольная постоянная. В результате общее решение неоднородного линейного уравнения (7.1) будет (7.4) Первое слагаемое в этой формуле представляет общее решение (7.3) линейного однородного дифференциального уравнения (7.2), а второе слагаемое формулы (7.4) есть частное решение линейного неоднородного уравнения (7.1), полученное из общего (7.4) при . Этот важный вывод выделим в виде теоремы. Теорема. Если известно одно частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения , то все остальные решения имеют вид , где - общее решение соответствующего линейного однородного дифференциального уравнения. Однако надо отметить, что для решения линейного неоднородного дифференциального уравнения 1-го порядка (7.1) чаще применяется другой метод, иногда называемый методом Бернулли. Будем искать решение уравнения (7.1) в виде . Тогда . Подставим найденную производную в исходное уравнение: . Объединим, например, второе и третье слагаемые последнего выражения и вынесем функцию U(X) за скобку: (7.5) Потребуем обращения в нуль круглой скобки: . Решим это уравнение, полагая произвольную постоянную C равной нулю: . С найденной функцией V(X) вернемся в уравнение (7.5): . Решая его, получим: . Следовательно, общее решение уравнения (7.1) имеет вид: . Заключение (итог занятия): (повторение основных положений лекции, обобщение изложенного, установление связей изложенного с последующим материалом). Оснащение занятия: Ä доска, Ä раздаточный материал - учебно-методическое пособие "Дифференциальные уравнения" Домашнее задание: Ä Математика: учеб. пособие §2.2. Ä Расчётно-графическая работа по теме «Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения задач»
Литература: Основные источники:
Дополнительные источники:
|