Разложение вектора по ортам декартовой системы координат

Разложить по базису a, b вектор с, лежащий в плоскости базисных векторов значит представить его в виде c=xa + yb, где x, y - координаты вектора c в базисе a, b, аналогично для пространственного базиса.

При решении задач координатным методом или с помощью векторов - главным является удачный выбор системы координат - желательно чтобы система координат естественным образом определялась условиями задачи

Система координат это начало координат О и направляющие векторы осей, длины которых определяют масштаб на осях. Для перпендикулярных и единичных по длине направляющих векторов принято обозначение i, j, k. На плоскости направляющие векторы осей (базис) - любая пара неколлинеарных (непараллельных) векторов, в пространстве базис - любая тройка некомпланарных (непараллельных одной плоскости) векторов.

Коэффициенты этого разложения - координаты вектора в данной системе координат - проекции вектора на координатные оси, что можно записaть в виде a={а_х, а_y, а_z} = а_хi+ а_yj+ а_zk.

Направляющие косинусы вектора - косинусы углов a = (i^а), b = (j^а), g = (k^а), которые вектор cоставляет с осями OХ, OY, OZ. (cosa = a_х/|a|, cosb = a_y/|а|, cosg = a_z/|a|, тогда а_х= пр_oхa = |a|cosa, а_y=пр_oya = |a|cosb, а_z=пр_oza =|a|cosg,

cos²a+ cos²b+ cos²g =1

Если возвести последние три равенства в квадрат и сложить, то получим основное тригонометрическое тождество для направляющих косинусов вектора:

Пусть в декартовой системе кooрдинат в пространстве заданы две точки или два их радиуса вектора r_A = ОА ={х_A, y_A, z_A}, r _B = OB ={х_B, y_B, z_B}. Из векторного равенства АВ=r_В - r_А = {х_В-х_А, y_В-y_А, z_В-z_А}, т. е. для нахождения координат вектора при известных координатах его начала и конца следует из координат координат конца вычесть координаты начала соответственно

a = {x_В - x_А; y_В - y_А; z_В - z_А}

МОДУЛЬ (ДЛИНА) ВЕКТОРА:- расстояние от начала до конца вектора. Модуль вектора с помощью его координат определяется:|a| = = Модуль вектора | АВ | = cовпадает с формулой расстояния между точками. А и В.

В заданном базисе любой вектор линейного пространства однозначно определяется своими координатами Ecли два вектора равны, то равны их координаты, следовательно равны модули и направляющие косинусы

Сложение векторов: координатной форме a ± b={à_x ± b_x; a_y ± b_y; a_z ± b_z}.

Коллинеарность векторов a =lb, причем |a |=|l | b| - условие коллинеарности в координатной форме имеет вид: .

Иногда удобно представлять вектор не в виде строки составленной из его координат а в виде столбца a= и рассматривать его как матрицу размера 3´1. Такая запись векторов называется матричной.