Интегрирование по частямПусть и – дифференцируемые функции. Известно, что дифференциал произведения вычисляется по формуле: . Проинтегрируем данное равенство . Используя свойства интеграла, будем иметь , отсюда . Данная формула называется формулой интегрирования по частям. Эта формула применяется чаще всего к интегрированию выражений, которые можно представить в виде произведения двух сомножителей и , причем за принимают такой множитель, от которого можно найти интеграл. Основные виды интегралов, которые берутся по частям: – многочлен степени (см. таблицу 2). Таблица 2
Пример 10. Найти интеграл . Решение. тогда , Пример11. Найти интеграл . Решение. , , тогда , Пример12. Найти интеграл . Решение. тогда ,
Получили интеграл такого же вида. Еще раз необходимо применить интегрирование по частям: , , тогда , Получили интеграл первоначального вида. Преобразуем . Из данного равенства выразим искомый интеграл , отсюда . Интегралы такого вида называются круговыми. Пример 13. Найти интеграл . Решение. тогда , Пример 14. Найти интеграл . Решение. тогда ,
. Некоторые другие виды интегралов также можно находить интегрированием по частям. С помощью формулы интегрирования по частям можно найти интеграл вида . Рассмотрим данный интеграл Разобьем на два интеграла Первый интеграл оставим без изменений, а во втором интеграле , , тогда ,
Преобразуем В результате применения метода интегрирования по частям, получили интеграл, в котором подынтегральная функция имеет степень, меньшую на единицу, чем в исходном интеграле: . (1) Данная формула называется рекуррентной формулой. Ее применяют до тех пор, пока не получат табличный интеграл вида . Пример 15. Найти интеграл . Решение. Применим к данному интегралу рекуррентную формулу: , . Еще раз применим рекуррентную формулу:
|