Характер поведения материалов при чистом изгибе. Гипотезы Бернулли.

Вертикальные линии сетки b - с, d - е - следы поперечны» сечений на боковой поверхности балки, а горизонтальные g - f, т - п следы слоев на боковой поверхности. Нагрузим балку статически и про анализируем поведение сетки. В деформированном состоянии участии балки с сеткой показан на рис. 184.

При нагружении вертикальные линии b - с, d - е, прямолинейные до нагружения, остались прямолинейными в процессе нагружения и повернулись относительно своего первоначального положения на некоторый угол, Горизонтальные линии g —f, т-п при нагружении стали криволинейными и слой g -/испытал деформацию сжатия, а слой т-п- деформацию растяжения, следовательно, существует некоторый слой ОО_и который не изменяет при нагружении линейные размеры - нейтральный слой. На основании приведенных экспериментальных данных сформулируем гипотезы Бернулли:

1. Гипотеза плоских сечений: поперечные сечения, плоские до нагружения, остаются плоскими в процессе нагружения и поворачиваются на некоторый угол относительно первоначального положения.

2. Продольные слои друг на друга не давят и под действием нор­мальных напряжений испытывают линейные деформации растяжения и сжатия.

3. Напряжения в пределах одного слоя поперечного сечения посто­янны по величине и изменяются по высоте поперечного сечения.

Гипотезы Бернулли справедливы, если выполняются следующие ог­раничения:

1. Материал балок находится в упругом состоянии и подчиняется чакону Гука.

2. Соотношения между размерами поперечных сечений и длиной балки таковы, что не происходит скручивание и коробление.

Поперечное сечение имеет хотя бы одну ось симметрии, и все внешние силы лежат в плоскости симметрии балки.

3 Изгиб прямого бруса: основные положения, …

Правило знаков:

1) Изгибающий момент + если внешний момент стремиться повернуть сечение т.о. чтобы сжимать верхние волокна

2) эпюры изгибающих моментов всегда строятся на сжатых волокнах

3) поперечная сила + если внешняя нагрузка стремится повернуть сечение по часовой стрелке

Пусть брус нагружен произвольным образом распределенной нагрузкой q = f (z) (рис. 5.5, а).

Рис. 5.5

Выделим из бруса элемент длиной dz и приложим по его краям положительные внутренние усилия (рис. 5.5, б). В пределах малого отрезка dz нагрузку q можно считать распределенной равномерно. Приравняем нулю сумму проекций всех сил на вертикальную ось y и сумму моментов всех сил относительно поперечной оси x, прохо­дящей через точку С (рис. 5.5, б), получим:

Q_y + q dz - Q_y - d Q_y = 0;

M_x + Q_y dz + q dz × dz /2 - M_x - d M_x = 0.

Производя упрощения и отбрасывая величины высшего поряд­ка малости, получим: (5.4) откуда (5.5)

Из (5.4) следует, что при q = const функция Q_y будет линей­ной, а функция M_x - квадратичной. Если на каких-то участках бруса распределенная нагрузка отсутствует, т.е. q = 0, то получим, что Q_y = const, а M_x является линейной функцией от z.

В сечениях, где приложена сосредоточенная сила, эпюра Q_y претерпевает скачок на величину внешней силы. И наконец, в тех сечениях, где Q_y принимает нулевое значение и меняет знак, функция M_x достигает экстремальных значений.
4 Напряжения в наклонной площадке. Главные напряжения при изгибе и их эпюры.

Для исследования напряженного состояния тела в любой его точке нужно уметь определять напряжения не только на площадках, параллельных координатным плоскостям, но и на наклонных.

Положение бесконечно малой наклонной площадки (рис.1.2) определяется нормалью с направляющими косинусами

Рис.1.2. Напряжения на наклонной площадке

Наклонная площадка и координатные плоскости образуют бесконечно малый тетраэдр Обозначим площадь наклонной площадки через и свяжем с ней площади остальных граней тетраэдра:

Рассмотрим силы, действующие на тетраэдр. На координатных площадках это будут силы от шести составляющих напряжений а на наклонной — силы от трех составляющих полного напряжения Кроме того, по всему объему тетраэдра действуют составляющие объемной силы.

Спроектируем действующие силы на ось х:

Опуская слагаемое третьего порядка малости и разделив все на получим

Аналогичным образом можно получить еще два уравнения, и тогда уравнения равновесия элементарного тетраэдра имеют вид

(1.4)

Уравнения (1.4) позволяют выразить напряжения на любой наклонной площадке с нормалью и направляющими косинусами через шесть направляющих напряжений, параллельных координатным плоскостям.

Если наклонная площадка совпадает с поверхностью тела, то составляющие полного напряжения соответствуют составляющим внешних сил, действующих на поверхности тела. Тогда уравнения (1.4) будут называться условиями на поверхности тела и свяжут внешние силы с внутренними.

Главные напряжения. Инварианты напряженного состояния

При помощи уравнений (1.4) можно вычислить напряжения на любой наклонной площадке в любой точке внутри тела, если известны составляющие напряжения по трем взаимно перпендикулярным площадкам, параллельным координатным плоскостям.

Равнодействующая составляющих напряжения на наклонной площадке называется полным напряжением на этой площадке и определяется как геометрическая сумма

(1.5)

Нормальное напряжение равно сумме проекций составляющих полного напряжения, параллельных координатным осям, на направление нормали:

(1.6)

Подставляя значения из (1.4), получим

(1.7)

Выражение (1.7) позволяет определять нормальные напряжения на любой наклонной площадке с помощью шести составляющих напряжений на трех площадках, параллельных координатным плоскостям.

При этом касательные напряжения на этой площадке будут

(1.8)

Формула (1.8) дает величину касательного напряжения, но не позволяет определить его направление в плоскости площадки.

Определим составляющую касательного напряжения в плоскости площадки с нормалью по направлению с направляющими косинусами Направления и взаимно перпендикулярны, поэтому их направляющие косинусы связаны известным из аналитической геометрии соотношением

(1.9)

Искомое касательное напряжение равно сумме проекций составляющих напряжений на направление :

Подставим в это выражение составляющие напряжения из (1.4):

(1.10)

Выражение (1.10) позволяет определить касательные напряжения на любой наклонной площадке в заданном направлении с помощью шести составляющих напряжений на трех площадках, параллельных координатным плоскостям.

Площадка, на которой касательные напряжения равны нулю, называется главной.

Для такой площадки ( ) из (1.8) следует т.е. на главной площадке полное напряжение совпадает с нормальным как по величине, так и по направлению.

Из условия можно определить величину главных напряжений и положение главных площадок. Обозначим искомое главное напряжение через , спроектируем его на координатные оси и найдем составляющие главного напряжения, параллельные координатным осям:

Сравнивая эти соотношения с (1.4), получим:

(1.11)

Из аналитической геометрии известно соотношение между направляющими косинусами:

(1.12)

Уравнения (1.11) и (1.12) содержат четыре неизвестных: главное напряжение и три его направляющих косинуса.

Преобразуем (1.11) к виду

(1.13)

Эта система имеет ненулевое решение (нулевое решение невозможно в силу (1.11)) тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю:

Раскрывая определитель и группируя по степеням , получим кубическое уравнение

или

(1.14)

где

(1.15)

Решение уравнения (1.14) всегда дает три действительных корня. Наибольший по алгебраическому значению корень обозначается через наименьший — Таким образом

Подставляя значение одного из главных напряжений в (1.13), можно найти направляющие косинусы соответствующей главной площадки.

Обозначим два главных напряжения через , , а их направляющим косинусам придадим значения с соответствующими индексами и дважды запишем уравнения (1.13):

(1.16)

Умножим уравнения (1.16) на соответственно и сложим их:

Т.к. то получаем условие ортогональности главных площадок, на которых действуют и :

Аналогично можно доказать ортогональность главных площадок, на которых действуют другие пары главных напряжений. Таким образом, в каждой точке тела можно выделить по крайней мере три главных площадки, которые взаимно перпендикулярны друг другу.

Величины главных напряжений не зависят от положения координатных осей следовательно, корни кубического уравнения (1.14) не зависят от выбора координатной системы и коэффициенты этого уравнения должны сохранять постоянные значения при преобразовании осей, т.е. они являются инвариантами, поэтому величины называются соответственно первым, вторым и третьим инвариантами напряженного состояния.

Если их выразить через главные напряжения (а для этого в (1.15) нужно касательные напряжения принять равными нулю), то получим

(1.17)

В теории напряжений инварианты рассматриваются как основные характеристики напряженного состояния тела в данной точке.

5 Изгиб прямого бруса: построение эпюр поперечных сил и изгиб моментов (правила построения и контроля эпюр; эпюры при нагружении однопролетной балки сосредоточ силой; эпюры при нагружении однопролетной балки распредел нагрузкой)

1)сосредоточ сила, прилож на конце консоли дает на эп Q скачек на велич силы, а на эп М наклон линию

2) на участках где прилож равномерно распредел нагрузка, эп Q всегда наклонная линия, а эп М квадратич парабола. Эп М на встречу стрелкам, как зонтик.

6 Изгиб прямого бруса: построение эпюр поперечных сил и изгиб моментов (правила построения и контроля эпюр; эпюры при нагружении однопролетной балки парой сил; эпюры при нагружении однопролетной балки распредел нагрузкой, парой сил и сосредоточенной силой)

1) Сосредоточенная нагрузка на эпюре Q дает скачок на величину нагрузки, а на эпюре М излом.

2) см вопр 5

3) сечение в кот эп Q пересек ось, эп М приним экстремальное значение
7. Методика расчетов на прочность по нормальным напряжениям при изгибе прямых брусьев.

0) Определ. реакции опор и считаем число участков

1) строим эпюры поперечных сил и изгибающих моментов и на эпюре изгиб моментов находи опасные моменты. Под опасным понимается сечение в которых изгиб момент принимает макс. Значение, это справедливо для изотропных и анизотропных материалов с симметричным сечением.

2) Производим расчет по формуле

Для анизотропных симметричных материалов в качесвте допуск. Напряжения берется наименьшее. Для нессиметр. Анизотропных материалов надо производить отдельно расчет, как по допускаемым напряжениям сжатия и на разжатие.

8. Центр изгиба: понятие и экспериментальное определение

ЦЕНТР ИЗГИБА -точка поперечного сечения бруса, такая, что брус при изгибе не испытывает кручения, если поперечная сила проходит через Ц. и. В упругом брусе положение Ц. и. не зависит от величины силы. Определение Ц. и. важно для расчёта ряда конструкций. Напр., чтобы крыло самолёта в полёте не изменяло самопроизвольно угол атаки, надо профиль крыла выбрать т. о., чтобы подъёмная сила проходила через Ц. и.

Что такое ЦЕНТР ИЗГИБА СТЕРЖНЯ? Описание термина.

точка в плоскости поперечного сечения тонкостенного стержня, обладающая тем свойством, что проходящие через неё поперечные силы вызывают изгиб стержня без кручения

У тонкостенных нессиметрич профилей центр изгиба не совпадает с центром тяжести фигуры при изгибе параллельного плоскости не явл осью симметрии(в то же время явл главной осью симметрии)

9 Понятие о прогибе и угле поворота. Вывод приближённого дифференциального уравнения изогнутой
оси

Перемещение центра тяжести поперечного сечения в направлении, перпендикулярном первоначальному положению продольной оси будем называть прогибом. Конечные элементы, перпендикулярные к продольной оси, остаются перпендикулярными упругой оси при нагружении. - угол поворота, т.е. угол, на который поворачивается поперечное сечение балки при нагружении относительно своего начального положения. . Угол поворота – это производная прогибов по расстоянию. Величиной прогибов оценивается жёсткость элементов конструкции и величина максимальных прогибов регламентирована. Величина прогиба: . Величина предельного прогиба, как правило устанавливается в соответствии с техническими условиями на конструкции. .

Вывод приближённого дифференциального уравнения изогнутой оси

, . Пренебрегаем первой производной от прогиба по расстоянию как величиной бесконечно малой по сравнению с единицей и получаем следующее уравнение: , где M(x)-изгибающий момент, -главный момент инерции относительно нейтральной оси.

Методика решения следующая:

1.
Проводим сечение с учётом правила знаков построения эпюр записываем уравнение изгибающего момента:

Постоянные интегрирования – это угол поворота и прогиб, выбранные в начале координат. В чисто виде приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси применять для определения прогибов и углов поворота оказывается не всегда возможным. В случае действия многих сил возрастает количество необходимых дифференциальных уравнений и, естественно, возрастает количество постоянных интегрирования, которые определить сложно, так как возникают сложности в назначении граничных условий.