Студопедия — Монотонные последовательности. Число e
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Монотонные последовательности. Число e






Определение 1. Последовательность называется возрастающей (убывающей), если для любого n ();

Определение 2. Последовательность называется неубывающей (невозрастающей), если ().

Все перечисленные последовательности носят название монотонных. Возрастающие и убывающие последовательности называются также строго монотонными.

Рассмотрим некоторые примеры.

1. Последовательность , , , …, , … возрастает и ограничена.

2. Последовательность 1, 1, 2, 2, …, n, n, … неубывающая и неограниченная.

3. Последовательность , , , …, , …убывающая и ограниченная.

Можно показать справедливость следующей теоремы.

Теорема 1. Всякая монотонно возрастающая (убывающая) ограниченная сверху (снизу) последовательность имеет предел.

Рассмотрим последовательность и попытаемся применить к ней эту теорему.

Используя формулу бинома Ньютона, запишем в виде

.

Если перейти от к , то есть увеличить n на единицу, то в предыдущем разложении добавится новый, -й положительный член, а каждое из слагаемых в разложении увеличится, так как любой множитель в скобках вида заменится большим множителем вида . Отсюда следует, что , то есть последовательность монотонно возрастает.

Покажем, что эта последовательность ограничена сверху. Опустив в разложении все множители в скобках, мы увеличим выражение, так как каждая из скобок меньше единицы.

Следовательно,

(так как при ).

Но прогрессия имеет сумму

,

следовательно, .

Условия теоремы 1 выполнены; отсюда следует существование конечного предела последовательности . Этот предел обозначают буквой e. Это число играет исключительно важную роль в математике и ее приложениях. Доказывается, что является иррациональным числом.







Дата добавления: 2015-10-12; просмотров: 432. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Гидравлический расчёт трубопроводов Пример 3.4. Вентиляционная труба d=0,1м (100 мм) имеет длину l=100 м. Определить давление, которое должен развивать вентилятор, если расход воздуха, подаваемый по трубе, . Давление на выходе . Местных сопротивлений по пути не имеется. Температура...

Огоньки» в основной период В основной период смены могут проводиться три вида «огоньков»: «огонек-анализ», тематический «огонек» и «конфликтный» огонек...

Упражнение Джеффа. Это список вопросов или утверждений, отвечая на которые участник может раскрыть свой внутренний мир перед другими участниками и узнать о других участниках больше...

Тема 5. Анализ количественного и качественного состава персонала Персонал является одним из важнейших факторов в организации. Его состояние и эффективное использование прямо влияет на конечные результаты хозяйственной деятельности организации.

Билет №7 (1 вопрос) Язык как средство общения и форма существования национальной культуры. Русский литературный язык как нормированная и обработанная форма общенародного языка Важнейшая функция языка - коммуникативная функция, т.е. функция общения Язык представлен в двух своих разновидностях...

Патристика и схоластика как этап в средневековой философии Основной задачей теологии является толкование Священного писания, доказательство существования Бога и формулировка догматов Церкви...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия