Розрахуємо довжину хвилi де Бойля для електрона

.

Вiдповiдь: l_к = 6.62 × 10^–33 м; l_е = 7.3 × 10^–6 м.

Зауваження: для кульки, що рухається, довжина хвилi настiльки мала, що не може бути вимiряна нiякими експериментальними методами, в той час як для електрона вимiрювання l можна здiйснити по дифракцiйній картині, що одержується на просторових структурах – кристалiчних решітках.

2. Електронний мiкроскоп, його межа розрiзнення.

Задача 2.

Знайти межу розрiзнення електронного мiкроскопа, якщо прискорююча напруга Dj = 100 кВ, а кутова апер­тура q = 10^–2 рад.

Еталон розв’язку.

Межа розрiзнення мiкроскопа визначається довжиною хвилi l випромiнювання, яке використовується, числовою апертурою А = n sin q i може бути розрахована за формулою:

.

“Освiтлення” об’єкта в електронному мiкроскопi здiйс­ню­ють електронним пучком. Довжина хвилi, що характе­ризує електрони пучка, визначається швидкiстю їх руху

.

Швидкiсть електронів може бути визначена з умови, що кiнетична енергiя електрона дорiвнює роботi електричного поля по перемiщенню заряду електрона, а саме:

.

Враховуючи всі наведені вище формули та співвідно­шення sin q» q для малих кутів, для межі розрізнення електронного мікроскопу отримаємо

Вiдповiдь: Z = 0.094 нм.

3. Спiввiдношення невизначеностей Гейзенберга.

Задача 3.

Пучок електронiв рухається вздовж електронно-променевої трубки зi швидкiстю = 10⁸ cм/с. Швидкiсть визначена з точнiстю до 0.01%. Чи має сенс поняття траєкторiї руху електронiв у трубцi?

Еталон розв’язку.

Спiввiдношення невизначеностей Гейзенберга дозволяє встановити точнiсть у визначеннi координати електрона

.

За умовою задачi D _х = 10^–4 u = 10² м/с. Звідси маємо

.

Вiдповiдь: Одержане значення D х = 10^-4 см = 1 мкм свiд­чить про те, що координата електрона може бути визначена з достатньо високою мiрою точностi. Таким чином, поняття траєкторiї руху електронiв в трубці має сенс.

Задача 4.

Тривалiсть збудженого стану атома водню вiдпов­iдає значенню Dt = 10^–3 с. Чому дорiвнює за цих умов невизначенiсть енергії збудженого енергетичного рiвня?

Еталон розв’язку.

Тривалiсть життя атома у збудженому станi D t i невизначенiсть значення енергiї даного стану пов’язанi спiввiдношенням Гейзенберга:

D Е × D t ³ ,

звідки

.

Вiдповiдь: D Е = 1.05 × 10^–26 Дж.

4. Квантовi числа, їх фiзичний змiст

Задача 5.

Знайти значення енергiї та орбiтального моменту iмпульса електрона в атомi водню, що вiдповiдають станам: 1S, 2S, 3S.

Еталон розв’язку.

Енергiя електрона в атомi водню у вiдповідностi до розв’язку рiвняння Шредiнгера може приймати значення

де n – головне квантове число, R = 3.3×10¹⁵ с ^–1 – стала Рiд­бер­га.

Стан	n	E
1 s		– Rh
2 s		– Rh /4
2 p		– Rh /4

Вiдповiдно до уявлень квантової механiки орбiтальний момент iмпульса електрона визначається значенням орбiтального квантового числа l за формулою

.

 

Стан	l	Lорб
1 s
2 s
2 p

Вiдповiдь: Для стану 1 S: E = –Rh = –3.3×10¹⁵×6.63×10^–34 = = –21.9×10^–19 Дж, L_орб = 0;

Для стану 2 S: E = –Rh /4 = –5.48×10^–19 Дж, L_орб = 0;

Для стану 2 p: E = –Rh /4 = –5.48×10^–19 Дж, L_орб = =
= 1.05×10^–34×1.4 = 1.47×10^–34 Дж× с.

5. Атомнi спектри

Задача № 6.

Знайти границi серiї Бальмера (в частотах та дов­жи­нах хвиль). Спiвставити цi данi з iнтервалом частот та довжин хвиль свiтла у видимому дiапазонi.

Еталон розв’язку.

Серiя Бальмера вiдповiдає переходам електрона на енер­ге­тич­ний рiвень з головним квантовим числом n = 2 з усiх вище розташованих рiвнiв. Частоти цiєї серiї можуть бути розрахованi за формулою:

v = R (1/2² – 1/ n_k ²),

де n_k = 3, 4, 5, …, а R = 3.3×10¹⁵ с ^–1 – стала Рiдберга. Границi серiї Бальмера визначаються такими значен­нями:

при n_k = 3 найменша частота дорівнює

v_{гр 1} = R (1/2² – 1/3²) = 0.46×10¹⁵ с ^--1;

при n_k = ¥ гранична лінія має частоту

v_{гр 2} = R (1/2² – 1/¥²) = 0.82×10¹⁵ с ^–1.

Відповідні довжини хвиль дорівнюють

l_{гр 1} = с/v_{гр 1} = 3×10⁸ / 0.46×10¹⁵ = 6.52×10^–7 м = 652 нм,

l_{гр 2} = с/v_{гр 2} = 3×10⁸ / 0.82×10¹⁵ = 3.66×10^–7 м = 366 нм.

Вiдповiдь: для серії Бальмера

0.46×10¹⁵ с ^–1 < n_Б < 0.82×10¹⁵ с ^–1 та 366 нм < l _Б < 652 нм, тоді як для видимого дiапазону 400 нм < l < 760 нм.

Задача № 7.

Вважаючи, що в збудженому станi атом водню пере­бу­ває протягом часу Dt = 10^–8 с, визначити пiвширину лiнiї Dl в серiї Бальмера, що вiдповiдає переходу з третього рiвня на другий.

Еталон розв’язку.

Використовуючи спiввiдношення невизначеностей Гей­зен­берга, визначимо “розмитiсть” D Е енергетичного рів­ня, що вiдповiдає збудженому стану:

При переходi атома зі збудженого рівня, що має енер­гію Е ± D Е, на нижчий рiвень з енергією Е ₀ випромiнюється фотон з енергією

hv = (E ± D E) – E ₀ = (E – E ₀) ± D E.

Таким чином, частота фотона, що випромiнюється, має невизначенiсть, яка дорівнює

Dv = DE/h,

тобто лiнiї спектра мають скiнчену ширину v ± D v в частот­ному діапазоні або l ± D l в діапазоні довжин хвиль.

Довжина хвилi пов’язана з частотою спiввiдношення
l = с / n. Диференціюючи цю рiвнiсть i враховуючи резуль­тат попередньої задачі щодо частоти переходу з третього рiвня на другий в серії Бальмера, одержимо шукану вели­чину D l:

D l» dl = (c / v ²)D v = (c/v ²)×D E / = (c/v ²)× /2 p D t = c /2 pv ²D t = = 3×10⁸/2×3.14×(0.46×10¹⁵)²×10^–8 = 2.38×10^–5 нм.

Вiдповiдь: D l = 2.38×10^–5 нм.

Завдання для перевiрки кiнцевого рiвня знань

1. Записати рiвняння Шредiнгера для атома водню.

2. Визначити границi серiї Лаймана i вказати, в якiй областi спектра лежить вказана серiя?

3. Розрахувати орбiтальний момент iмпульсу електрона в станi 3 р.

4. Знайти межу розрiзнення електронного мiкроскопа з кутовою апертурою q = 10^–2 рад.

5. Розрахувати енергiю атома водню, якщо електрон знаходиться в станi 3 S.

6. Середня тривалiсть життя молекули в збудженому станi дорівнює 10^–8 с. Система випромiнює світло, яке має довжину хвилi l = 610 нм. Чому дорiвнює невизначенiсть довжинi хвилi D l?

7. Розрахувати довжину хвилi де Бройля для електрона, який пройшов прискорюючу напругу D j = 100 В.

8. Вказати максимальну кiлькiсть електронiв у багатоелектронному атомi, що може знаходитись на різних пiдрiвнях та шарах атома.

9. Електрон пролiтає щiлину шириною D х = 1 мкм. З якою похибкою може бути визначена складова iмпульса вздовж вiсi х пiд час прольоту щiлини?

10. Записати електроннi конфiгурацiї для атомiв азота та вуглецю.

11. Вiдобразити графiчно (в декартових координатах) орбiталi електрона, якi характеризуються значеннями орбiтального кван­то­вого числа l = 0, 1, 2.

12. Знайти проекцiї орбiтального момента електрона на напрямок зовнiшнього магнiтного поля, який характеризується орбiталь­ним квантовим числом l = 2.

13. Вказати можливi значення проекцiї спiна електрона на напрямок зовнiшнього магнiтного поля.

14. Середня тривалiсть життя молекули в збудженому станi дорiвнює 10^–8 с. Система випромiнює світло з частотою v =
= 0.46×10¹⁵ с ^–1. Вказати невизначенiсть частоти D v.

9.6.2. Лабораторна робота “Застосування фотоелемента для вимiру освiтленостi та визначення його чутливостi”

Мета роботи: Ознайомитись з принципом дiї вентиль­ного фотоелемента. Визначити iнтегральну чутливiсть фо­то­елемента. Навчитися використовувати фотоелемент для вимiру освiтленостi.

Прилади та обладнання: Лабораторна установка, що вмi­щує: селеновий фотоелемент, оптичну лаву, лампу роз­жа­рю­вання, мiкроамперметр.

Питання для підготовки до лабораторної роботи

1. Зовнішній фотоефект.

2. Закони зовнішнього фотоефекту.

3. Застосування зовнішнього фотоефекту.

4. Фотоефект в напівпровідниках.

5. Застосування внутрішнього фотоефекту.