Темы. Парето оптимальные распределения и их представление в ящике Эджворта. Равновесие в экономике обмена. Закон Вальраса. Экономика Робинзона Крузо

На 15 полно оплачиваемых детей – предоставляется 1 бесплатный руководитель.

 

Ремарка: Данные цены, указанные в пунктах 1), 2) и 3), (нетные) в евро за 1 чел. в день включают в себя:

размещение, питание, страховку, туристический налог, НДС и бесплатное использование спортивных сооружений в комплексе (тенис-корт, игровые поля в дневное время суток),

24-часовая охрана комплекса, медицинское обслуживание на територии комплекса, спасатели на пляже, зонтики на пляже и зонтики и лежаки у бассейна - бесплатно.

 

 

ГУ-ВШЭ, 2007-2008 уч.г. Микроэкономика, модуль-1

 

Домашнее задание №1

 

ДЗ сдается преподавателю, ведущему семинары не позже 17-20 октября 2007 г.

Темы. Парето оптимальные распределения и их представление в ящике Эджворта. Равновесие в экономике обмена. Закон Вальраса. Экономика Робинзона Крузо

1. Прочитайте Вэриан Х.Р., Микроэкономика, промежуточный уровень. Современный подход. Москва, Юнити, пер. с англ., 1997, гл. 28 и гл. 29 и решите все задачи в конце глав.

 

1. Найдите ошибку/ки в рассуждении. Докажем, что вектор цен и распределение образуют равновесие в экономике обмена с двумя потребителями, функции полезности которых имеют вид и , а первоначальные запасы заданы векторами и . Поскольку для потребителя А товары являются совершенными заменителями, то он будет тратить весь свой доход на более дешевый товар, то есть и . Потребитель В ценит только второй товар и хотел бы весь свой доход потратить на него, но, осознавая, что в экономике имеется лишь 6 единиц второго товара, вынужден ограничить свое потребление этой величиной: . В результате у него остается еще 2 единицы первого товара: . Итак, мы показали, что выполнена рациональность потребителей и, кроме того, как мы видим, совокупное потребление по каждому благу в точности равно его запасу в экономике, то есть мы имеем дело с равновесием.

 

Решение: Ошибка заключается во фразе «вынужден ограничить свое потребление этой величиной». Смысл равновесных цен и равновесия вообще – в том, что в этой ситуации каждый участник обмена сможет купить и продать ровно столько каждого товара, сколько захочет. Нетрудно заметить, что при ценах потребитель B хотел бы продать 5 единиц блага x и купить единиц блага у. То, что он не сможет этого сделать (его партнер способен купить лишь 3 единицы х, и предложить к продаже лишь 1 единицу y), означает, что предлагаемое нам распределение не является равновесным.

1. Рассмотрите экономику обмена с двумя товарами . Могут ли следующие функции и являться функциями избыточного спроса для этой экономики?

 

Решение: Во-первых, известно, что функции избыточного спроса обладают однородностью степени «0» по ценам. Проверим, соблюдается ли это свойство для заданных нам функций:

Как видим, обе функции однородны степени «0».

Во-вторых, если предпочтения монотонны, функции избыточного спроса удовлетворяют закону Вальраса: стоимость совокупного избыточного спроса на все товары тождественно (то есть, для всех возможных наборов цен) равна нулю. Иными словами, . Подставив предлагаемые нам функции избыточного спроса в это тождество, мы получим:

Нетрудно видеть, что это выражение равно нулю не для всех возможных цен, а только для p₁ = p₂. Следовательно, либо предпочтения немонотонны, либо предлагаемые функции не являются функциями избыточного спроса.

 

1. В экономике обмена имеется два товара x и y и два потребителя, А и В, предпочтения которых представлены функциями полезности и , соответственно. Вектора первоначальных запасов имеют вид: и .

а) Изобразите в ящике Эджворта множество всех парето оптимальных распределений.

Решение: Рассмотрим последовательно три класса точек – над диагональю ящика Эджворта, под диагональю, и на диагонали. Вначале рассмотрим произвольно взятую точку z₁ над диагональю ящика, через которую проходят кривые безразличия U_A и U_B (см. Рисунок 1). Для потребителя A, точке z₁ предпочитаются любые наборы, лежащие выше кривой безразличия U_A (в области, заштрихованной синим, не включая саму кривую безразличия). Для потребителя B, точке z₁ предпочитаются любые наборы, лежащие (в его системе координат) выше кривой безразличия U_B (в области, заштрихованной красным, не включая саму кривую безразличия). Таким образом, любой набор внутри треугольной области, где красная и синяя штриховки пересекаются, одновременно принесет обоим потребителям большую полезность, чем z₁, т.е. будет Парето-улучшением для z₁. Следовательно, никакая произвольно взятая точка z₁, лежащая выше диагонали ящика Эджворта, Парето-оптимальной не является.

Аналогичным образом можно показать, что никакая произвольно взятая точка z₂, лежащая ниже диагонали ящика Эджворта, также не является Парето-оптимальной.

Рисунок 1.

 

Теперь рассмотрим произвольную точку z₃, лежащую на диагонали ящика Эджворта (Рисунок 2). Как и раньше, для А наборы, более предпочтительные чем z₃, лежат в области, заштрихованной синим (не включая саму кривую безразличия U_A), а для B – в области, заштрихованной красным (не включая саму кривую безразличия U’_B). Однако теперь эти области не пересекаются – не существует таких наборов, которые были бы лучше, чем z₃ для одного потребителя, и по крайней мере не хуже – для другого. Таким образом, любые точки на диагонали ящика Эджворта не могут быть улучшены по Парето, и являются Парето-оптимальными.

Множество всех Парето-оптимальных распределений – диагональ ящика.

Рисунок 2.

 

б) Изобразите кривые цена-потребление и найдите равновесие/равновесия (укажите цены и соответствующие распределения).

Решение: Найдем кривую цена-потребление для потребителя A. Для этого последовательно рассмотрим его бюджетное ограничение при всех возможных комбинациях цен, и для каждой их комбинации (для каждого угла наклона бюджетного ограничения) ответим на вопрос: какие из доступных потребителю А наборов будут лежать на самой высокой кривой безразличия? На самом деле, возможно всего три принципиальных случая (см. Рисунок 3).

Случай 1: p_x = 0. Бюджетное ограничение BC₁ является горизонтальной линией, проходящей через точку первоначального запаса ω. Самой высокой из достижимых кривых безразличия здесь является U¹_A; следовательно, потребитель А может выбрать любой набор, одновременно принадлежащий U¹_A и BC₁ (на «горизонтальном луче» U¹_A)

Случай 2: p_x > 0, p_y > 0. Бюджетное ограничение BC₂ является наклонной линией, проходящей через точку первоначального запаса ω. Самой высокой из достижимых кривых безразличия здесь является U²_A, а единственным набором, одновременно принадлежащим U²_A и BC₂ - набор z, лежащий на диагонали ящика.

Случай 3: p_y = 0. Бюджетное ограничение BC₃ является вертикальной линией, проходящей через точку первоначального запаса ω. Самой высокой из достижимых кривых безразличия здесь является U³_A; следовательно, потребитель А может выбрать любой набор, одновременно принадлежащий U³_A и BC₃ (на «вертикальном луче» U³_A).

Рисунок 3

 

Объединяя на одном графике точки потребительского выбора А при всех комбинациях цен, мы получаем следующую кривую «цена-потребление» (Рисунок 4):

Рисунок 4

 

Аналогично, найдем кривую цена-потребление для потребителя B, также рассмотрев его бюджетное ограничение при всех возможных комбинациях положительных цен. Здесь возможно пять принципиальных случаев (см. Рисунок 5):

Случай 1: p_x < p_y. Угол наклона бюджетного ограничения BC₁ меньше, чем угол наклона кривых безразличия. Самой высокой из достижимых кривых безразличия является U¹_B; единственный набор, одновременно принадлежащий U¹_B и BC₁ - набор z₁, лежащий на оси 0_BX_B.

Случай 2: p_x = p_y. Бюджетное ограничение BC₂ фактически совпадает с кривой безразличия U²_B, она же является самой высокой из доступных; потребитель может выбрать любую точку на кривой безразличия U²_B.

Случай 3: p_x > p_y. Угол наклона бюджетного ограничения BC₃ больше, чем угол наклона кривых безразличия. Самой высокой из достижимых кривых безразличия является U²_B; единственный набор, одновременно принадлежащий U²_B и BC₃ - набор ω – первоначальный запас.

Остается рассмотреть два специальных случая: когда цены x и y равны нулю. Поскольку полезность потребителя B монотонно возрастает по обоим благам, ясно, что если какое-то из них бесплатно, потребитель захочет иметь его бесконечно много. Соответственно, при p_x = 0 выбираемый набор будет находиться в бесконечности на оси 0_BX_B, при p_y = 0 - в бесконечности на оси 0Y_B.

Рисунок 5

Объединяя на одном графике точки потребительского выбора B при всех комбинациях цен, мы получаем следующую кривую «цена-потребление» (Рисунок 6). Ясное дело, точки в бесконечности мы нарисовать не сможем.

 

Рисунок 6

Наконец, объединяя кривые «цена-потребление» для А и B на одном графике, мы видим, что они пересекаются в двух точках – Z и ω (Рисунок 7). Для того, чтобы точка пересечения кривых «цена-потребление» была равновесием, оба потребителя должны стремиться попасть в эту точку при одних и тех же ценах. Мы видим, что для Z это условие справедливо – при p_x = p_y оба потребителя захотят переместиться именно в нее (точнее, А захочет, а B будет не против). Однако, в точку ω потребитель А захочет попасть только при p_x = 0, а при таких ценах потребитель B будет стремиться оказаться совсем в другом месте – в бесконечно удаленной точке на оси 0_BX_B.

Рисунок 7

Равновесное распределение можно найти как решение системы двух уравнений в координатах потребителя А:

Соответственно, равновесие:

 

в) Как изменятся ваши ответы на пункты (а) и (б), если первоначальные запасы имеют вид: и .

 

Решение: Множество Парето-оптимальных распределений будет представлять собой отрезок 0_AZ’. Ответ на пункт (б) изменится следующим образом (см. Рисунок 8):

 

Рисунок 8

(По-хорошему, это нужно было бы тоже обосновать!)

Точками пересечения кривых «цена-потребление» будут Z’ и ω. В точку ω потребитель А захочет попасть только при p_x = 0, а при таких ценах потребитель B будет стремиться оказаться в бесконечно удаленной точке на оси 0_BX_B - ω не может быть равновесием. Однако точка Z’ может быть равновесием при (при безупречном решении здесь стоило нарисовать бюджетное ограничение для этого случая, кривые безразличия, и показать, почему оба потребителя захотят оказаться именно в точке Z’). Итак, новое равновесие:

.

 

1. Найдите равновесие в экономике обмена с двумя товарами и двумя потребителями, А и В, предпочтения которых представлены функциями полезности и , соответственно. Вектора первоначальных запасов имеют вид: и .

Решение: Во-первых, очевидно, что в равновесии решения задач обоих потребителей будут внутренними – т.к. любая точка на границе ящика Эджворта приносит им меньшую полезность, чем первоначальный запас. Во-вторых, ясно, что для потребителя B в равновесии бюджетное ограничение будет касательной к кривой безразличия è соотношение цен x и y будет равно соотношению их предельных полезностей. Для любой внутренней точки, где это не так, можно указать доступные наборы, которые потребитель B предпочтет «равновесному» (см. заштрихованную красным область на Рисунке 9):

Рисунок 9.

Отсюда также следует, что в равновесии цены обоих товаров не нулевые.

В-третьих, ясно, что при ненулевых ценах все решения задачи потребителя А будут удовлетворять свойству:

x_A = 2y_A (1)

 

Докажем от противного: пусть x_A > 2y_A – решение задачи потребителя А. Тогда U_A = 2y_A. Возьмем δ > 0 товара x, такую, что x_A - δ > 2(y_A + δ) и обменяем ее на товара y. Полезность составит U_A = 2(y_A + δ) – новый набор доступен и лучше старого – первоначальный набор не был решением задачи потребителя А.

Ясно, что равновесие будет лежать на пересечении двух линий – бюджетного ограничения, и луча x_A = 2y_A:

Найдем угол наклона бюджетного ограничения:

Если p_x = 1, то:

(2)

Заметим, что общее бюджетное ограничение должно проходить через точку первоначальных запасов (рассмотрим ее в координатах потребителя А):

Выражая отсюда p_y, получим:

(3)

Подставив (3) в (2), получим уравнение:

Воспользуемся известными нам размерами ящика Эджворта, чтобы привести это уравнение к координатам потребителя А:

(4)

И наконец, подставим в выражение (4) необходимое условие максимизации полезности потребителя A (1):

Упростив это выражение, мы получим:

; (5)

Уравнение (5) имеет два корня: y_A = 7 и y_A = 4. Первый корень мы отбрасываем, так как при нем оптимальное распределение не помещалось бы в ящике Эджворта (потребитель А должен был бы получать ). Таким образом:

y_A = 4;

x_A = 8; - из (1)

x_B = 5; y_B = 5; - в силу монотонности предпочтений потребителей А и B и известных нам размеров ящика Эджворта.

p_x/p_y = 1; - из (2)

 

Равновесие:

 

6. Пусть предпочтения Робинзона заданы функцией полезности , где -количество потребляемых кокосов, а – свободное время. Предположим, что Робинзон открыл фирму по производству кокосов. Кокосы можно достать только собственным трудом, причем технология фирмы описывается производственной функцией вида . Робинзон может работать максимум 24 часа в сутки.

а) Найдите Парето оптимальное распределение.

б) Найдите равновесие. Будет ли равновесное распределение Парето оптимальным?

 

Решение:

а) Парето-оптимальное состояние возникает при таком распределении Робинзоном своего свободного времени между трудом и отдыхом, которое приносит ему максимальную полезность:

Поскольку эта функция вогнута по l, необходимым и достаточным условием максимума будет:

Домножим на 3, и приведем дроби к одному знаменателю:

б) Поскольку мы уже знаем, что Парето-оптимальное распределение в этой экономике только одно, осталось доказать, что оно и будет равновесием. В силу Второй теоремы экономики благосостояния и того, что предпочтения Робинзона монотонны, это действительно так. Найдем равновесные цены из дифференциальной характеристики оптимума:

подставив с = 16 и l =16, мы получим, что равновесные цены: