IV. Узагальнення і систематизація знань

Виконання усних вправ:

1. Який метод потрібно використати для розв’язання даного рівняння:

а) (зведення до квадратного рівняння)

б) (розкладання на множники)

в) (метод введення допоміжного кута)

Виконання письмових вправ:

1. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

1-й спосіб:

.

У процесі розв’язування ми врахували той факт, що якщо , , то можна покласти таким, що дорівнює .

2-й спосіб:

.

Відповідь: .

 

2. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Скористаємося формулою , тоді

. Зробимо заміну :

Повернемось до заміни:

Відповідь: .

 

3. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Наведемо дві форми запису розв’язання вихідного рівняння.

І форма запису розв’язання.

ОДЗ: .

Знаходимо значення х, що задовольняють рівняння і ; якщо ; якщо .

Оскільки через ОДЗ , то серія розв’язків непридатна, вона не входить в ОДЗ, і, відповідно, є лише друга серія розв’язків .

Відповідь: .

 

ІІ форма запису розв’язання.

.

Відповідь: .

 

4. Визначити кількість цілих значень параметра а, при яких рівняння має розв’язки.

Розв’язання

. За властивістю функції – , тому . Цілими значеннями, які належать отриманому проміжку, є: –5; –4; –3; –2; –1; 0; 1; 2; 3. Їх кількість – 9.

Відповідь: 9.

 

5. Розв’язати рівняння

.

Розв’язання

Згрупуємо доданки в лівій і правій частинах рівняння: . За формулою перетворення суми синусів, а також за формулою косинуса подвійного кута, отримаємо

. Звідси

Відповідь: .

 

 

6. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

.

Кожний множник отриманого рівняння прирівнюємо до нуля і знаходимо його корені: ; .

Відповідь: .

 

 

7. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Поділимо обидві частини рівняння на :

Перевіримо, чи не є коренем початкового рівняння: . Отже не є коренем нашого рівняння.

Відповідь: .

 

8. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Зробимо підстановку , .

Тоді .

Значить .

Перевіримо, чи не є розв’язком даного рівняння : .

Відповідь: .

 

9. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Позначивши , дістанемо

. Тоді початкове рівняння запишеться у вигляді Повернемось до заміни:

(1)

або . (2)

Найпростішим методом розв’язування рівняння (1) є метод введення допоміжного кута:

.

Друге рівняння сукупності (2) розв’язків не має, оскільки , а число .

Відповідь: .

 

10. Розв’язати рівняння . У відповіді зазначте кількість розв’язків на проміжку .

Розв’язання

Скористаємось формулами зведення для правої частини рівняння.

Для ; . Отже розв’язків на відрізку два.

Відповідь: 2.

 

 

11. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Перші дві тригонометричні нерівності нашої комбінованої системи розв’язуємо з урахуванням властивостей тригонометричних функцій. Тоді маємо:

, оскільки друга серія розв’язків зі знаком «–» не задовольняє нерівність .

Відповідь: .

12. Розв’яжіть систему рівнянь У відповідь запишіть добуток , якщо – розв’язок системи рівнянь.

Розв’язання

Згідно з властивостями тригонометричних функцій, що та , отримаємо: звідки Дана система нерівностей виконується лише при ; .

Тоді добуток .

Відповідь: .

 

 

13. Знайдіть усі дійсні значення параметра а, при яких рівняння має розв’язок.

Розв’язання

Замінимо через , тоді

, звідси .

Отже, рівняння набуває вигляду

. Розв’яжемо квадратне рівняння відносно змінної :

;

Зробимо оцінку , для цього розділимо обидві частини рівності на : ; за допомогою введення допоміжного кута (І). Оскільки , то й , тобто , або .

Отже, не задовольняє наші умови, тому , а оскільки , то і , і з рівності (І)

.

Відповідь: для розв’язків немає;

для .

 

 

14. Розв’язати рівняння .

Розв’язання

Можна замінити через х, а потім зробити підстановку , . Тоді або . Повернувшись до підстановки (а) або (б), розв’яжемо по черзі рівняння (а) і (б):

(а): ;

(б):

.

Перевіримо, чи не є розв’язком даного рівняння : .

Відповідь: .

 

 

15. Решите систему уравнений:

{	sin x cos y = -1/2
cos x sin y = 1/2	(9)

Решение. Сложив уравнения системы (9), а затем вычтя из второго уравнений первое, получим систему, равносильную системе (9):

{	sin (x+y) = 0
sin (y-x) = 1

откуда последовательно находим

x + y = Пn, y - x = П/2 + 2Пk

x = П (n/2 + k + 1/4)

y = П (n/2 + k + 1/4)

Ответ: (П (n/2 + k + 1/4); П (n/2 + k + 1/4))

 

16. Решить систему уравнений:

 

17. Решить систему уравнений:

Р е ш е н и е. Складывая и вычитая эти два уравнения, получим:

Рассмотрим отдельно каждую из ветвей второго уравнения: