Влияние способа закрепления концов стержня на величину критической силы

Формула Эйлера была получена нами для, так называемого, основного случая – в предположении шарнирного опирания стержня по концам. На практике встречаются и другие случаи закрепления стержня. При этом можно получить формулу для определения критической силы для каждого из этих случаев, решая, как в предыдущем параграфе, дифференциальное уравнение изогнутой оси балки с соответствующими граничными условиями. Но можно использовать и более простой прием, если вспомнить, что, согласно (6), при потере устойчивости на длине стержня должна укладываться одна полуволна синусоиды.

Введём понятие приведенной, или свободной, длины стержня

l_пр = νl

– длина стержня, в которой при потере устойчивости укладывается одна полуволна синусоиды, где ν - коэффициент приведения длины стержня.

Форма потери устойчивости стержня шарнирно опёртого с обеих концов представляет собой одну полуволну синусоиды (рис. 10.5, а). И этот случай принято считать основным случаем потери устойчивости. В этом случае l_пр = l и ν = 1.

Некоторые другие способы закрепления концов стержня легко могут быть приведены к основному случаю путем сопоставления формы изогнутой оси с формой потери устойчивости шарнирно опертого стержня (рис. 10.5).

Стержень с жестко защемленным одним и свободным другим концом. При потере устойчивости он изогнется, как показано на рис. 10.5, б. Форма потери устойчивости этого стержня представляет собой четверть синусоиды. Следовательно, в этом случае приведенная длина равна l_пр = 2 l (полуволна синусоиды имеет длину 2 l, ν = 2), а эйлерова сила в четыре
раза меньше, чем для основного случая:

.

Один конец стержня жестко защемлен, а второй – закреплён шарнирно. В этом случае форма потери устойчивости такова, что одна полуволна синусоиды занимает 0,7 длины стержня (рис. 10.5, в). Поэтому приведенная длина стержня равна l_пр = 0,7 l (ν = 0,7), а эйлерова нагрузка

,

то есть в два раза больше, чем для основного случая.

Оба конца стержня жестко защемлены. В этом случае форма потери устойчивости такова, что одна полуволна синусоиды занимает половину длины стержня (рис. 10.5, г). Поэтому приведенная длина стержня равна l_пр = 0,5 l (ν = 0,5), а эйлерова нагрузка

,

то есть в четыре раза больше, чем для основного случая.

Таким образом, формула для критической силы для общего случая закрепления концов стержня записывается в виде:

(10.7)