Часть работы.СЛАУ.

[1] Постулат – утверждение принимаемое без доказательства, как аксиома. О справедливости того или иного постулата можно судить путем сравнения с экспериментом результатов, полученных при использовании того или иного постулата.

Оружие победы 2. Легкие танки

БТ-2
БТ-5
БТ-7
Танк М3А1 Стюарт (ленд-лиз)
Танк МКVII Тетрарх (ленд-лиз)
Танк МК III Валентайн (ленд-лиз)
Танк Т-26
Танк Т-50
Танк Т-60
Т-70
САУ СУ-76

 

Метод деления отрезка пополам.

Интервал изоляции [-7;-6].

i	a	b	c	F(a)	F(c)	|b-a|
	-7	-6	-6,5		10,75967
	-6,5	-6	-6,25	10,759668	0,796755	0,5
	-6,25	-6	-6,125	0,7967554	-3,34813	0,25
	-6,25	-6,125	-6,1875	0,7967554	-1,34018	0,125
	-6,25	-6,1875	-6,21875	0,7967554	-0,28821	0,0625
	-6,25	-6,21875	-6,23438	0,7967554	0,250101	0,03125
	-6,23438	-6,21875	-6,22656	0,2501008	-0,02009	0,015625
	-6,23438	-6,22656	-6,23047	0,2501008	0,114745	0,007813
	-6,23047	-6,22656	-6,22852	0,1147445	0,047261	0,003906
	-6,22852	-6,22656	-6,22754	0,0472615	0,013569	0,001953
	-6,22754	-6,22656	-6,22705	0,0135686	-0,00327	0,000977

c=(-7-6)/2=-6,5

f(a)=0,5^-7-1-(-7-2)²-7=39

f(c)=0,5^-6,5-1-(-6,5-2)²-6,5=10,75967

f(a)* f(c)>0

Интервал изоляции [1;2].

i	a	b	c	F(a)	F(c)	|b-a|
			1,5	-0,5	0,603553
		1,5	1,25	-0,5	0,107948	0,5
		1,25	1,125	-0,5	-0,18212	0,25
	1,125	1,25	1,1875	-0,182123	-0,03359	0,125
	1,1875	1,25	1,21875	-0,033593	0,038053	0,0625
	1,1875	1,21875	1,203125	-0,033593	0,002449	0,03125
	1,1875	1,203125	1,195313	-0,033593	-0,01552	0,015625
	1,195313	1,203125	1,199219	-0,015518	-0,00652	0,007813
	1,199219	1,203125	1,201172	-0,006521	-0,00203	0,003906
	1,201172	1,203125	1,202148	-0,002033	0,000209	0,001953
	1,201172	1,202148	1,20166	-0,002033	-0,00091	0,000977

c=(1+2)/2=1,5

f(a)=0,5¹-1-(2-2)²+1=-0,5

f(c)=0,5^1,5-1-(1,5-2)²+1,5=0,603553

f(a)* f(c)<0

Интервал изоляции [3;4].

i	a	b	c	F(a)	F(c)	|b-a|
			3,5	1,125	0,338388
	3,5		3,75	0,338388	-0,23817	0,5
	3,5	3,75	3,625	0,338388	0,065427	0,25
	3,625	3,75	3,6875	0,065427	-0,08254	0,125
	3,625	3,6875	3,65625	0,065427	-0,0076	0,0625
	3,625	3,65625	3,640625	0,065427	0,029154	0,03125
	3,640625	3,65625	3,648438	0,029154	0,010838	0,015625
	3,648438	3,65625	3,652344	0,010838	0,001635	0,007813
	3,652344	3,65625	3,654297	0,001635	-0,00298	0,003906
	3,652344	3,654297	3,65332	0,001635	-0,00067	0,001953
	3,652344	3,65332	3,652832	0,001635	0,000482	0,000977

c=(3+4)/2=3,5

f(a)=0,5³-1-(3-2)²+3=1,125

f(c)=0,5^3,5-1-(3,5-2)²+3,5=0,338388

f(a)* f(c)>0

 

2. Метод Ньютона.

Условие начального приближения

f(x)*f''(x)>0

Интервал изоляции [-7;-6].

k	xi	Xi+1 –Xi	F(xi)	f'(xi)
	-7	0,559358		-69,7228
	-6,44064	0,193172	8,176259	-42,3264
	-6,24747	0,020124	0,7077	-35,1676
	-6,22735	0,000202	0,006952	-34,4783
	-6,22715		6,91E-07	-34,4715

x	f	f''
-7		59,497986
-6	-7	28,748993

 

 

f(-7)=0,5^-7-1-(-7-2)²-7=39

f''(x)=0,5^x *ln0.5-5*x+5;

f''(x)=0.5^x*(ln0.5)²-5;

f'(-7)= 0,5^-7 *ln0.5-5*(-7)+5 =-69.7228

f(-7)* f''(-7)= 39*59.497986>0

x₁=x₀- f(x)/ f'(x)=-7+39/(-69.7228)=-6.44064

|X₁-X₀|=-0,55936>0,001

 

Интервал изоляции [1;2].

k	xi	Xi+1 –Xi	F(xi)	f'(xi)
		0,188436	-0,5	2,653426
	1,188436	0,01355	-0,03142	2,318991
	1,201986	7,16E-05	-0,00016	2,294734
	1,202057		-4,6E-09	2,294605

x	f	f''
	-0,5	-1,759773
	1,25	-1,879887

 

 

f(1)=-0.5

f''(x)=0,5^x *ln0.5-5*x+5;

f''(x)=0.5^x*(ln0.5)²-5;

f'(1) =-1.759773

f(1)* f''(1)= -0.5*(-1.759773)>0

x₁=x₀- f(x)/ f'(x)=1+0.5/2.653426=1.188436

|X₁-X₀|>0,001

 

 

Интервал изоляции [3;4].

k	xi	Xi+1 –Xi	F(xi)	f'(xi)
		-0,30805	-0,9375	-3,04332
	3,691948	-0,0383	-0,09336	-2,43753
	3,653646	-0,00061	-0,00144	-2,36237
	3,653036		-3,6E-07	-2,36117

x	f	f''
	1,125	-1,939943
	-0,9375	-1,969972

 

 

f(4)=-0.9375

f''(x)=0,5^x *ln0.5-5*x+5;

f''(x)=0.5^x*(ln0.5)²-5;

f'(4) =-3.04332

f(4)* f''(4)= -0.9375*(-1.939943)>0

x₁=x₀- f(x)/ f'(x)=4+0.9375/(-3.04332)=3.691948

|X₁-X₀|>0,001

 

Метод Чебышева.

x_k+1 =x_k – (f(x_k))/f'(x_k) - (f(x_k)* f''(x_k))/ 2(f'(x_k))³ ;

Интервал изоляции [-7;-6].

k	xk	Xk+1 –Xk	F(xk)	f'(xk)	f''(xk)
	-7	0,562781		-69,7228	59,49799
	-6,43722	0,192484	8,031607	-42,1906	39,63389
	-6,24474	0,017682	0,61162	-35,0733	34,43372
	-6,22705	-9,4E-05	-0,0032	-34,4683	33,98989
	-6,22715		4,59E-05	-34,4715	33,99224

x₁ =-7 – (39)/(-69.7228) - 39* 59.49799/ 2(-69.7228)³=-6.43722

Интервал изоляции [1;2].

k	xk	Xk+1 –Xk	F(xk)	f'(xk)	f''(xk)
		0,164886	-0,5	2,653426	-1,75977
	1,164886	0,030778	-0,08653	2,361084	-1,78572
	1,195665	0,005303	-0,01471	2,306053	-1,79024
	1,200968	0,000904	-0,0025	2,296556	-1,79101
	1,201872		-0,00043	2,294937	-1,79114

x₁ =1 – (-0.5)/(2,653426) – (-0.5)* (-1,75977)/ 2(2,653426)³=1,164886

Интервал изоляции [3;4].

k	xk	Xk+1 –Xk	F(xk)	f'(xk)	f''(xk)
		-0,27529	-0,9375	-3,04332	-1,96997
	3,724709	-0,05873	-0,17427	-2,50185	-1,96366
	3,665978	-0,01066	-0,03072	-2,38656	-1,96215
	3,655322	-0,00188	-0,0054	-2,36566	-1,96187
	3,653439		-0,00095	-2,36196	-1,96182

x₁ =4 – (-0,9375)/(-3,04332) -(-0,9375) * (-1.96997)/ 2(-3,04332)³=3,724709

Сравнение результатов, полученных по разным методам решения[3;4].

метод	значение	количество
решения	корня	итераций
деление отрезка пополам	3,652832
Метод Чебышева	3,653439
Ньютона	3,653036

Более выгоден метод Ньютона т.к. он потребовал меньшее количество итераций.

Часть работы.СЛАУ.

Постановка задачи. Требуется найти решение системы m линейных уравнений, которая в общем виде записывается в виде

36х₁-5x₂-11х₃ -19х₄=-9

х₁+33х₂-11х₃-20х₄=-8

5х₁-х₂+26х₃-19х₄=-7

11х₁+4х₂-5х₃+21х₄=-6

В матричном виде эта система уравнений записывается так:

А х=f, где

36 -5 -11 -19

А = 1 33 -11 -20 - матрица системы,

5 -1 26 -19

11 4 -5 21

-9 х1

b= -8 - вектор правых частей х= х2 - вектор неизвестных

-7 х3

-6 х4

 

Таким образом, задача состоит в том, чтобы при известных коэффициентах матрицы А и элементах вектора f найти такие значения (х₁,х₂… х_m) ^T, что при подстановке их в систему уравнений они превращаются в тождества.

Необходимым и достаточным условием существования единственного решения СЛАУ является условие det А ≠0. В случае равенства нулю определителя матрица называется вырожденной и при этом СЛАУ либо не имеет решения, либо имеет их бесчисленное множество.

Все методы решения линейных алгебраических задач можно разбить на два класса: прямые(методы Крамера, обратной матрицы и Гаусса) и итерационные(методы простой итерации, Якоби и Гаусса – Зейделя).

Метод обратной матрицы. Если det A ≠0, то существует матрица А^-1, обратная к данной. Умножим исходную систему уравнений на обратную, получим: А^-1А х= А^-1 f.

Известно, что произведение обратной матрицы на исходную дает единичную матрицу Е, следовательно, получаем Е х= А^{- 1}f, х= А ^-1f

Решение СЛАУ свелось к умножению известной обратной матрицы на вектор правых частей. Т.о., задача решения СЛАУ и задача нахождения обратной матрицы связаны между собой, поэтому часто решение СЛАУ называют задачей обращения матрицы.

Метод простой итерации. Преобразуем исходную систему линейных уравнений А х=f к эквивалентной системе вида:

х=хα+β, где

х – искомый вектор, а α и β – некоторые новые матрица и вектор соответственно. В качестве первого приближения можно взять х_i⁽⁰⁾=0. Следующие приближения находим по рекуррентным формулам

х^(к+1)= α;х^(к)+β, к=0,1,2,…

Такой итерационный процесс будем называть методом простых итераций(МПИ). Достаточным условием сходимости МПИ к решению системы при любом начальном векторе х⁽⁰⁾ является требование || α;||<1, где || α;|| | - норма матрицы α;.

Существует несколько способов построения порождающей матрицы α;, для которой выполняется достаточное условие сходимости.

 

Метод Гаусса- Зейделя

В отличии от метода Якоби, в котором вычисление всех компонент вектора (k+1)-го приближения проводилось однообразно, в методе Гаусса- Зейделя для расчета i-й компоненты следующего приближения используется уже вычисленное на том, т.е. (k+1)-м шаге, новые значения первых i-1 компонент:

X₁^(k+1)=1/a₁₁(f₁-a₁₁^(k)-a₁₃x₃^(k)-…-a_1mx_m^(k))

X₂^(k+1)=1/a₂₂(f₂-a₂₁^(k+1)-a₂₃x₃^(k)-…-a_2mx_m^(k))

X_i^(k+1)=1/a_ij(f_i-a_i1^(k+1)-a_i2x₂^(k+1)-…-a_i,i-1x_i-1^(k+1)- a_i,i+1x_i+1^(k)-…-a_2mx_m^(k))

X_m^(k+1)=1/a_mm(f_m-a_m1^(k+1)-a_m2x₂^(k+1)-…-a_m,m-1x_m-1^(k+1))

Или, в компактном виде:

X_i^(k+1)=1/a_ij(f_i- x_j^(k+1)- x_j^(k)), i=1,2…,m.

Достаточным условием сходимости этого метода, как и для метода Якоби, является условие диагонального преобладания:

/ a_ij/> , i=1,2…,m.