Студопедия — Метод деления отрезка пополам.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Метод деления отрезка пополам.






Допустим, что мы нашли отрезок , в котором расположено искомое значение корня , т.е. .

Пусть для определенности , (рис. 1.1). В качестве начального приближения корня принимается середина этого отрезка, т.е. . Далее исследуем значение функции на концах отрезков и . Тот из них, на концах которого принимает значения разных знаков, содержит искомый корень. Поэтому его принимаем в качестве нового отрезка. Вторую половину отрезка отбрасываем. В качестве первой итерации корня принимаем середину нового отрезка и т. д.

Рис. 1.1 Метод деления отрезка пополам.

Таким образом, после каждой итерации отрезок, на котором расположен корень, уменьшается вдвое, т.е. после итераций он сокращается в раз. Если длина полученного отрезка становится меньше допустимой погрешности, т.е. , счет прекращается.

Пример 1.1. Найти решение уравнения c точностью методом деления отрезка пополам.

 
Рис. 1.2. Графический метод изоляции корня уравнения

Решение. Уравнение представим в виде . Корнем данного уравнения является -координата точки пересечения графиков функций и (рис.1.2). Искомый корень находится между точками и . Функция на концах отрезка принимает значения разных знаков и .

Начальное приближение: , , .

; ; .

1-е приближение: , , .

Погрешность .

; ; .

Корень находится в интервале .

2-е приближение: , , .

Погрешность .

; ; .

Корень находится в интервале .

7-е приближение: , , .

Погрешность .

Приближенным решением данного уравнения является .

На рис. 1.3 приведена программа решения данного уравнения методом деления отрезка пополам на языке VBA в Excel. В качестве исходных данных в ячейки таблицы вводятся границы интервала, содержащего корень, и точность вычисления.

  Исходные данные Результаты
  A B C D E
  a b e x f(x)
      0,001 0,682617 0,000694
Function F(x) F = x ^ 3 + x - 1 End Function Sub program1() a = Cells(2, 1) b = Cells(2, 2) e = Cells(2, 3) If F(a) * F(b) > 0 Then MsgBox "F(a) и F(b) одного знака" End End If 1 x = (a + b) / 2 If F(a) * F(x) < 0 Then b = x Else a = x If (b - a) >= e Then GoTo 1 Cells(2, 4) = x Cells(2, 5) = F(x) End Sub
Рис. 1.3. Пример программы нахождения корней уравнения методом деления отрезка пополам на языке Visual Basic for Application.

Пример 1.2. Найти решение уравнения c точностью методом деления отрезка пополам с помощью программы Excel.

Найдем интервал, содержащий единственный корень уравнения. Для этого необходимо построить таблицу или график функции .

1) Введем в ячейки A2, A3, A4, … значения переменной .

2) Введем в ячейку B2 формулу =A2^3+A2–1.

3) Скопируем формулу и вставим в остальные ячейки столбца B.

4) Найдем соседние ячейки, в которых значения функции имеют разные знаки (рис. 1.4 а). Соответствующие значения переменной дают границы интервала, содержащего корень.

5) Для построения графика вызываем мастер диаграмм. Выбираем тип диаграммы «точечная» - точечная диаграмма со значениями, соединенными сглаживающими линиями.

6) Границы интервала, содержащего корень, соответствуют значениям шкалы, между которыми линия графика пересекает горизонтальную ось (рис. 1.4 б)

a) б)
 
  A B
  x F(x)
  -3 -31
  -2 -11
  -1 -3
    -1
     
     
     

 

Рис. 1.4. Изоляция корня уравнения в Excel с помощью: а) таблицы; б) графика. Искомый корень находится в интервале [0; 1].

Продолжаем решение на новом листе (рис. 1.5).

1) Ввести в ячейки A1 – G1 заголовки столбцов.

2) В ячейку A2 – значение левой границы интервала

3) В ячейку B2 – значение правой границы интервала

4) В ячейку C2 – формулу середины отрезка =(A2+B2)/2

5) В ячейку D2 – формулу погрешности =B2–A2

6) В ячейку E2 – формулу функции =A2^3+A2-1

7) Скопировать формулу из E2 в ячейки F2 и G2. Строка 2 теперь содержит результаты начального приближения.

8) В ячейку A3 – формулу =ЕСЛИ(E2*G2<0;A2;C2)

9) В ячейку B3 – формулу =ЕСЛИ(E2*G2<0;C2;B2)

10) Выделить ячейки C2:G2 и скопировать формулы в соседние ячейки C3:G3 при помощи маркера заполнения (небольшой черный квадрат в правом нижнем углу выделенного блока). Строка 3 теперь содержит результаты первого приближения.

11) Выделить ячейки A3:G3 и скопировать формулы в соседние ячейки расположенных ниже строк A4:G4, A5:G5, и т.д. при помощи маркера заполнения. Каждая новая строка содержит результаты очередного приближения.

12) В столбце С найти значение корня, соответствующее заданной точности.

Приближенное решение данного уравнения содержится в ячейке С9 (погрешность в ячейке D9).

 

  A B C D E F G
  a b x b-a F(a) F(b) F(x)
  0,0000 1,0000 0,5000 1,0000 -1,0000 1,0000 -0,3750
  0,5000 1,0000 0,7500 0,5000 -0,3750 1,0000 0,1719
  0,5000 0,7500 0,6250 0,2500 -0,3750 0,1719 -0,1309
  0,6250 0,7500 0,6875 0,1250 -0,1309 0,1719 0,0125
  0,6250 0,6875 0,6563 0,0625 -0,1309 0,0125 -0,0611
  0,6563 0,6875 0,6719 0,0313 -0,0611 0,0125 -0,0248
  0,6719 0,6875 0,6797 0,0156 -0,0248 0,0125 -0,0063
  0,6797 0,6875 0,6836 0,0078 -0,0063 0,0125 0,0030
Рис. 1.5. Решение уравнения методом деления отрезка пополам с помощью программы Excel.

 







Дата добавления: 2015-10-15; просмотров: 1501. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

Толкование Конституции Российской Федерации: виды, способы, юридическое значение Толкование права – это специальный вид юридической деятельности по раскрытию смыслового содержания правовых норм, необходимый в процессе как законотворчества, так и реализации права...

Значення творчості Г.Сковороди для розвитку української культури Важливий внесок в історію всієї духовної культури українського народу та її барокової літературно-філософської традиції зробив, зокрема, Григорій Савич Сковорода (1722—1794 pp...

Постинъекционные осложнения, оказать необходимую помощь пациенту I.ОСЛОЖНЕНИЕ: Инфильтрат (уплотнение). II.ПРИЗНАКИ ОСЛОЖНЕНИЯ: Уплотнение...

Метод архитекторов Этот метод является наиболее часто используемым и может применяться в трех модификациях: способ с двумя точками схода, способ с одной точкой схода, способ вертикальной плоскости и опущенного плана...

Примеры задач для самостоятельного решения. 1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P   1.Спрос и предложение на обеды в студенческой столовой описываются уравнениями: QD = 2400 – 100P; QS = 1000 + 250P...

Дизартрии у детей Выделение клинических форм дизартрии у детей является в большой степени условным, так как у них крайне редко бывают локальные поражения мозга, с которыми связаны четко определенные синдромы двигательных нарушений...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия