Колебания.

Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью , резистора и конденсатора емкостью . Определить сопротивление резистора, если известно, что амплитуда тока в контуре уменьшается в раз за 16 полных колебаний.

Дано: , , .

Найти:

Решение:

Число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды силы тока в раз:

, (1)

где - время релаксации, ;

- период затухающих колебаний,

- собственная циклическая частота колебаний,

- коэффициент затухания,

R – сопротивление резистора.

Подставим эти выражения в (1), получим:

.

Отсюда искомое сопротивление:

Подставим числовые значения и произведем вычисления:

.

Ответ:

Варианты индивидуальных заданий.

 

Порядковый номер студента в журнале	Номера задач

5.1. Записать уравнение гармонических колебаний при следующих параметрах:

1) А = 10 см, рад, = 2 рад/сек;

2) А = 5,0 см, рад, Т = 2,0 сек;

3) А = 4,0 см, рад, = 2,0 сек^-1.

 

5.2. Материальная точка совершает гармонические колебания по закону , см. Определить амплитуду колебания А, начальную фазу , период колебаний Т.

 

5.3. Определить смещение от положения равновесия материальной точки, совершающей гармонические колебания при: 1) t₁ = 0; 2) t₂ = ; 3) t₃ = ; 4) t₄ = . Начальная фаза колебаний , амплитуда колебаний А.

 

5.4. Написать уравнение гармонического колебания, если амплитуда ускорения a_m = 50 см/с², частота колебаний
= 0,5 Гц, смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени x₀ = 25 мм. Найти амплитуду скорости.

 

5.5. Написать уравнение гармонического колебания, если амплитуда скорости υ_m = 63 см/с, период колебаний Т = 1 с, смещение точки от положения равновесия в начальный момент времени равно нулю. Найти амплитуду ускорения, частоту колебаний.

 

5.6. Точка совершает гармонические колебания. В некоторый момент времени смещение точки x = 5 см, скорость
= 20 см/с и ускорение a = - 80 см/с. Найти циклическую частоту и период колебаний в рассматриваемый момент времени.

 

5.7. Точка совершает гармонические колебания. Период колебания Т = 2 с, амплитуда А = 50 мм, начальная фаза . Найти скорость точки в момент времени, когда смещение от положения равновесия x = 2,5 см.

 

5.8. Материальная точка совершает колебание по закону синуса. Наибольшее смещение точки А = 20 см, наибольшая скорость = 40 см/с. Написать уравнение колебаний и найти максимальное ускорение точки.

 

5.9. Начальная фаза колебаний точки 15^о. Через сколько времени от начала движения смещение точки первый раз достигает величины равной половине амплитуды? Период колебаний Т = 12 с.

 

5.10. Материальная точка совершает колебания по закону x = 2 , см. Найти амплитуду, период, частоту, начальную фазу колебаний, а также максимальные значения скорости и ускорения.

 

5.11. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний имеет вид: . Найти период и частоту этих колебаний.

 

5.12. Амплитуда скорости материальной точки, совершающей гармоническое колебание, υ_m = 8 см/c, а амплитуда ускорения a_m = 16 см/с². Найти амплитуду смещения и циклическую частоту колебаний.

 

5.13. Период колебаний математического маятника Т = 10 с. Длина этого маятника равна сумме длин двух других математических маятников, один из которых имеет частоту колебаний ν = 1/6 Гц. Чему равен период колебаний второго из этих маятников?

 

5.14. Два математических маятника имеют одинаковую массу, длины, отличающиеся в 1,5 раза, и колеблются с одинаковой угловой амплитудой. Какой маятник обладает большей энергией и во сколько раз?

 

5.15. Два математических маятника, длины которых отличаются на ∆l = 16 см, совершают за одно и тоже время один
N = 10 колебаний, другой N = 6 колебаний. Определите длины маятников.

 

5.16. За сколько времени маятник отклонится от положения равновесия на половину амплитуды, если период колебаний Т = 3,6 с?

 

5.17. Маятник совершает гармонические колебания. Через сколько времени он при первом колебании отклонится от положения равновесия на расстояние, равное амплитуды, если период колебаний Т = 4 с, начальная фаза ?

 

5.18. При фазе рад смещение х = 1см. Найти амплитуду колебаний и смещение при фазе рад.

 

5.19. Математический маятник длиной l = 2,5 м совершает колебания с амплитудой А = 10 см. Написать уравнение движения x = x(t).

 

5.20. Физический маятник представляет собой тонкий стержень, подвешенный за один из его концов. При какой длине стержня период этого маятника будет равен Т = 1 с?

 

5.21. Тонкий однородный стержень длиной l = 60 см может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, отстоящей на расстоянии x = 15 см от его середины. Определите период стержня, если он совершает малые колебания.

 

5.22. Однородный шарик подвешен на нить, длина которой равна радиусу шарика. Во сколько раз период малых колебаний этого маятника больше периода малых колебаний математического маятника с таким же расстоянием от точки подвеса до центра тяжести?

 

5.23. Однородный диск радиусом R = 20 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии l = 15 см от центра диска. Определить период колебания диска относительно этой оси.

 

5.24. Тонкий обруч радиусом R = 50 см подвешен на вбитый в стену гвоздь и колеблется в плоскости, параллельной стене. Определите период колебания обруча.

 

5.25. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить вместо медного шарика алюминиевый такого же радиуса?

 

5.26. Тонкий обруч, подвешенный на гвоздь, вбитый горизонтально в стену, колеблется в плоскости параллельно стене. Радиус обруча R = 30 см. Вычислить период колебаний Т обруча.

 

5.27. Кольцо радиусом R = 0,61 м и весом Р = 35 Н подвешено на горизонтальном гвозде:

а) какова будет частота колебания кольца при его малых отклонениях от положения равновесия?

б) какова длина эквивалентного математического маятника?

 

5.28. Найти период колебаний стержня длиной l = 0,5 м, который совершает малые колебания в вертикальной плоскости около горизонтальной оси, проходящей через точку, находящуюся на расстоянии d = 10 см от его верхнего конца.

 

5.29. Однородный диск радиусом R = 0,4 м колеблется в вертикальной плоскости около горизонтальной оси. Ось перпендикулярна диску и проходит через его край. Как изменится период колебаний диска, если ось перенести к центру параллельно самой себе на расстоянии радиуса от прежнего положения.

 

5.30. Диск радиусом R = 24 см колеблется около горизонтальной оси, проходящей через середину одного из радиусов перпендикулярно плоскости диска. Определить частоту колебаний такого физического маятника.

 

5.31. Начальная фаза колебаний точки равна нулю, период колебаний Т = 1 с. Определить ближайшие моменты времени, в которые смещение, скорость и ускорение вдвое меньше амплитудных значений.

 

5.32. Спиральная пружина под действием подвешенного к ней груза растянулась на ∆x = 6,5 см. Если груз оттянуть вниз, а затем отпустить, то он начнёт колебаться вдоль вертикальной линии. Определить период колебаний груза.

 

5.33. Груз массой m = 200 г подвешен к пружине с коэффициентом упругости k = 10 Н/м. Найти длину математического маятника, имеющего такой же период колебаний, как данный пружинный маятник.

 

5.34. Математический маятник массой m = 100 г и длиной = 1 м совершает гармонические колебания по закону x = 2,5sin2 t, см. Определить натяжение в момент времени t = .

 

5.35. Висящий на пружине груз массой m = 0,10 кг совершает вертикальные колебания. Определить период гармонических колебаний груза, если для упругого удлинения пружины на ∆x = 1,0 см требуется сила F = 0,10 Н. Весом пружины пренебречь.

 

5.36. Под действием груза массой m = 200 г пружина растягивается на ∆x = 1,86 см. Грузу сообщили кинетическую энергию Е = 0,02 Дж, и он стал совершать гармонические колебания. Определить частоту и амплитуду колебаний.

 

5.37. Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с амплитудой А = 8 см. Определите жесткость пружины k, если известно, что максимальная кинетическая энергия груза составляет Е = 0,8 Дж.

 

5.38. Груз, подвешенный к спиральной пружине, колеблется по вертикали с амплитудой А = 6 см. Определите полную энергию груза, если жесткость пружины k = 500 Н/м.

 

5.39. Спиральная пружина обладает жесткостью k = 25 Н/м. Тело какой массы должно быть подвешено к пружине, чтобы за t = 1 мин совершилось 25 колебаний?

 

5.40. Груз массой m = 0,3 кг, подвешенный к пружине, растягивает её на x = 2,2 см. Определить кинетическую и потенциальную энергию груза через t = 3с после начала колебаний, если в начальный момент груз оттянут на
x₁ = 5 см из положения равновесия и затем предоставлен самому себе.

 

5.41. К пружине подвешен груз m = 10 кг. Зная, что пружина под влиянием силы F = 9,8 Н растягивается на x = 1,5 см, определить период вертикальных колебаний груза.

 

5.42. Материальная точка массой m = 7,1 г совершает гармоническое колебание с амплитудой А = 2 см и частотой
ν = 5 Гц. Чему равна максимальная возвращающая сила и полная энергия колебаний?

 

5.43. Уравнение колебаний материальной точки массой m =16 г имеет вид: , см. Определить кинетическую, потенциальную и полную энергии точки через
t = 2 с после начала колебаний.

 

5.44. Тело массой m = 5 кг совершает гармонические колебания с амплитудой А = 4 см. Найти период колебаний, если максимальная кинетическая энергия колеблющегося тела Е_к.макс = 0,98 Дж.

 

5.45. Материальная точка массой m = 5 г колеблется согласно уравнению , см. Найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.

 

5.46. Полня энергия тела массой m = 1 кг, совершающего гармонические колебания, Е = 1 Дж, максимальная возвращающая сила, действующая на тело, равна F_макс = 10 Н. Написать дифференциальное уравнение колебаний и его решение, если начальная фаза = 45^о.

 

5.47. Материальная точка массой m = 10 г колеблется по закону x = 0,05sin(0,6t+0,8), м. Найти максимальную силу, действующую на точку, и полную энергию колеблющейся точки.

 

5.48. Тело массой m = 10 г совершает гармонические колебания по закону , м. Определите максимальные значения: 1) возвращающей силы; 2) кинетической энергии.

 

5.49. Материальная точка массой m = 50 г совершает гармонические колебания согласно уравнению , м. Определите: 1) возвращающую силу для момента времени
t = 0,5 с; 2) полную энергию точки.

 

5.50. Материальная точка массой m = 20 г совершает гармонические колебания по закону , м. Определите полную энергию Е этой точки.

 

5.51. Полная энергия гармонического колебания точки Е = 10 мкДж, а максимальная сила равна F = 0,5 мН. Напишите уравнение движения этой точки, если период колебаний Т = 4 с, а начальная фаза .

 

5.52. Определите отношение кинетической энергии точки, совершающей гармонические колебания, к её потенциальной энергии, если известна фаза колебания.

 

5.53. Собственная частота колебаний некоторой системы составляет = 500 Гц. Определить частоту затухающих колебаний этой системы , если резонансная частота
_рез = 499 Гц.

 

5.54. Определить резонансную частоту колебательной системы, если собственная частота колебаний ₀ = 300 Гц, а логарифмический декремент затухания = 0,2.

 

5.55. Период затухающих колебаний Т = 1 с, логарифмический декремент затухания = 0,3, начальная фаза . Смещение точки при t = 2Т составляет 5 см. Запишите уравнение этого колебания.

 

5.56. Амплитуда затухающих колебаний маятника за t = 2 мин уменьшилась в 2 раза. Определить коэффициент затухания .

 

5.57. Логарифмический декремент затухания колебаний маятника = 0,01. Определить число N полных колебаний маятника до уменьшения его амплитуды в 3 раза.

 

5.58. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за t = 1 мин уменьшилась в 3 раза. Во сколько раз она уменьшится за t = 4 мин?

 

5.59. Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника А₀ = 3 см. По истечении t₁ = 10 с – А₁ = 1 см. Через сколько времени амплитуда колебаний станет равной А₂ = 0,3 см?

 

5.60. За время, в течение которого система совершает N = 50 полных колебаний, амплитуда уменьшается в 2 раза. Определите добротность Q системы.

 

5.61. Частота свободных колебаний некоторой системы = 65 рад/с, а её добротность Q = 2. Определите собственную частоту колебаний ₀ этой системы.

 

5.62. Тело массой m = 100 г, совершая затухающие колебания, за = 1 мин потеряло 40% своей энергии. Определите коэффициент сопротивления r.

 

5.63. За t = 10 с амплитуда колебаний уменьшилась в e раз. Найти коэффициент затухания этих колебаний.

 

5.64. Логарифмический декремент затухания камертона, колеблющегося с частотой = 100 Гц, равен 0,002. Через какой промежуток времени амплитуда колебаний камертона уменьшится в 100 раз?

 

5.65. Логарифмический декремент затухания маятника равен 0,02. Во сколько раз уменьшится амплитуда после 50 полных колебаний?

 

5.66. Через t = 10 с амплитуда колебаний маятника уменьшилась в 3 раза. Через сколько времени она уменьшится в 10 раз?

 

5.67. Амплитуда колебаний маятника уменьшается в 10 раз за 100 полных колебаний. Определить логарифмический декремент затухания. Через сколько колебаний амплитуда маятника уменьшилась в e раз?

 

5.68. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 10 мГн, конденсатора емкостью С = 0,1 мкФ и резистора с сопротивлением R = 20 Ом. Через сколько полных колебаний амплитуда тока в контуре уменьшится в e раз?

 

5.69. Определите логарифмический декремент затухания, при котором энергия колебательного контура за N = 5 полных колебаний уменьшается в n = 8 раз.

 

5.70. Колебательный контур содержит катушку индуктивностью L = 6 мкГн, конденсатор емкостью С = 10 нФ и резистор сопротивлением R = 10 Ом. Определите для случая максимума тока отношение энергии магнитного поля катушки к энергии электрического поля.

 

5.71. Частота затухающих колебаний в колебательном контуре с добротностью Q = 2500 равна = 550 кГц. Определите время, за которое амплитуда силы тока в этом контуре уменьшится в 4 раза.

 

5.72. Гиря массой m = 0,5 кг, подвешенная на спиральной пружине жесткостью k = 50 Н/м, совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F = 0,1сos t, Н. Определите для данной колебательной системы: 1) коэффициент затухания ; 2) резонансную амплитуду А_рез.

 

5.73. Гиря массой m = 400 г, подвешенная на спиральной пружине жесткостью k = 40 Н/м, опущена в масло. Коэффициент сопротивления r для этой системы составляет 0,5 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F = сos t, Н. Определите: 1) амплитуду вынужденных колебаний, если частота вынуждающей силы вдвое меньше собственной частоты колебаний; 2) резонансную амплитуду.

 

5.74. Гиря массой m = 20 г, подвешенная на спиральной пружине жесткостью k = 50 Н/м, совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления r = 0,2 кг/с. На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону F = 0,2сos t, Н. Определите: 1) частоту собственных колебаний; 2) резонансную частоту _рез; 3) резонансную амплитуду А_рез.

 

5.75. Груз массой m = 2,5 кг, подвешенный к пружине с коэффициентом жесткости k = 3,6·10²Н/м, совершает вынужденные колебания под действием внешней силы
F = 13,5sin6t, H. Найти амплитуду вынужденных колебаний груза. Трением пренебречь.

 

5.76. Груз массой m = 0,1 кг подвешен на пружине с коэффициентом жесткости k = 10 Н/м. На груз действует вынуждающая сила, описываемая уравнением F = 2cos8t, Н. Коэффициент затухания = 0,5 с^-1. Определить уравнение установившихся вынужденных колебаний.

 

5.77. Вынужденные колебания описываются дифференциальным уравнением: . Найти частоту этих вынужденных колебаний. Чему равна частота собственных колебаний системы? При какой частоте внешней силы будет наблюдаться резонанс?

 

5.78. Два одинаково направленных колебания заданы уравнениями: , см; , см. Записать уравнение результирующего колебания.

 

5.79. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями и , А = 5 см,
= 5 рад/c. Определить уравнение траектории точки и вычертите её с нанесением масштаба, указав направление её движения по этой траектории.

 

5.80. При сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний с одной и той же частотой и амплитудами, равными А₁ = 2 см и А₂ = 4 см, получается гармоническое колебание с амплитудой А = 5 см. Найти разность фаз складываемых колебаний.

 

5.81. Два одинаково направленных гармонических колебания с одинаковой частотой и амплитудами А₁ = 3 см и А₂ = 5 см складываются в одно гармоническое колебание с амплитудой А = 7 см. Найти разность фаз складываемых колебаний.

 

5.82. Два одинаково направленных гармонических колебания одинакового периода с амплитудами А₁ = 4 см и А₂ = 8 см имеют разность фаз = 45^о. Определите амплитуду результирующего колебания.

 

5.83. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями , см и , см. Определите уравнение траектории точки и вычертите её с нанесением масштаба.

 

5.84. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях и описываемых уравнениями , см и , см. Определите уравнение траектории точки и вычертите её с нанесением масштаба.

 

5.85. Амплитуда результирующего колебания, получающегося при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковой частоты, обладающих разностью фаз = 60^о, А = 6 см. Определите амплитуду А₂ второго колебания, если А₁ = 5 см.

 

5.86. Разность фаз двух одинаково направленных гармонических колебаний одинакового периода Т = 4 с и одинаковой амплитуды А = 5 см составляет = . Напишите уравнение движения, получающегося в результате сложения этих колебаний, если начальная фаза одного из них равна нулю.

 

5.87. Складываются два гармонических колебания одного направления, описываемых уравнениями , см и , см. Определите для результирующего колебания: 1) амплитуду; 2) начальную фазу. Запишите уравнение результирующего колебания и представьте векторную диаграмму сложения амплитуд.

 

5.88. Колебательный контур содержит соленоид (длина l =5 см, площадь поперечного сечения S₁ = 1,5 см², число витков N = 500) и плоский конденсатор (расстояние между обкладками d = 1,5 мм, площадь пластинок S₂ = 100 см²). Определите частоту собственных колебаний контура.

 

5.89. Колебательный контур состоит из катушки индуктивностью L = 0,1 Гн и конденсатора емкостью С = 39,5 мкФ. Заряд конденсатора q = 3 мкКл. Пренебрегая сопротивлением контура, запишите уравнение: 1) изменения силы тока в цепи в зависимости от времени; 2) изменения напряжения в зависимости от времени.

 

5.90. Сила тока в колебательном контуре, содержащем катушку индуктивностью L = 0,1 Гн и конденсатор, со временем изменяется согласно уравнению , А. Определите: 1) период колебания; 2) емкость конденсатора; 3) максимальное значение на обкладках конденсатора; 4) максимальную энергию магнитного поля; 5) максимальную энергию электрического поля.

 

5.91. Напряжение на обкладках конденсатора в колебательном контуре изменяется по закону U = 10cos10⁴t, В. Емкость конденсатора С = 10 мкФ. Найти индуктивность контура и закон изменения силы тока в нём.

 

5.92. Сила тока в колебательном контуре изменяется по закону I = 0,1sin10³t, А. Индуктивность контура L = 0,1 Гн. Найти закон изменения напряжения на конденсаторе и его емкость.

 

5.93. В колебательном контуре максимальная сила тока
I = 0,2 А, а максимальное напряжение на обкладках конденсатора U = 40 В. Найти энергию колебательного контура, если период колебаний Т = 15,7 мкс.

 

5.94. Конденсатору емкостью С = 0,4 мкФ сообщается заряд q = 10 мкКл, после чего он замыкается на катушку с индуктивностью L = 1 мГн. Чему равна максимальная сила тока в катушке?

 

5.95. Максимальная сила тока в колебательном контуре
I = 0,1 А, а максимальное напряжение на обкладках конденсатора U = 200 В. Найти циклическую частоту колебаний, если энергия контура Е = 0,2 мДж.

 

5.96. Энергия свободных затухающих колебаний, происходящих в колебательном контуре, составляет Е = 0,2 мДж, при медленном раздвигании пластин конденсатора частота увеличилась в 2 раза. Определить работу, совершённую против сил электрического поля.

 

5.97. Колебательный контур содержит катушку с общим числом витков N = 100, индуктивность L = 10 мкГн и конденсатор емкостью С = 1 нФ. Максимальное напряжение на обкладках конденсатора составляет U = 100 В. Определить максимальный магнитный поток, пронизывающий катушку.

 

5.98. Катушка без сердечника длиной l = 50 см и сечением S₁ = 3 см² имеет 1000 витков и соединена параллельно с конденсатором. Площадь пластин конденсатора S₂ =75 см². Расстояние между пластинами d = 5 мм, диэлектрик – воздух. Определить период колебаний Т контура.

 

5.99. Определить энергию электрического и магнитного полей колебательного контура в момент, когда энергия магнитного поля составляет 0,1 энергии электрического поля, если максимальный заряд конденсатора равен q = 10^-8 Кл, а максимальное напряжение на его обкладках U = 440 В.

 

5.100. Колебательный контур имеет собственную частоту = 30 кГц. Какой будет его собственная частота, если расстояние между пластинами плоского конденсатора увеличить в 1,44 раза?

Колебания.

Ι. Механические.