Закон распределения СВ

Появление тех или иных значений СВ можно рассматривать как события, а различным событиям в общем случае соответствуют различные вероятности. Поэтому возможные значения СВ отличаются между собой с вероятностной точки зрения.

Например, при бросании двух игральных кубиков такие значения СВ Z=X+Y как z=2 и z=8 находятся в «неодинаковых условиях». Значение z=2 может появиться только в одном случае, когда x₁ =1и y₁=1, а значение z=8 может появиться в пяти случаях. Отсюда следует, что вероятность появления z=2 меньше, чем вероятность появления z=8.

Таким образом, перечисление всех возможных значений СВ не дает достаточно полного представления о ней. Кроме того, необходимо знать как часто могут появляться те или иные её значения в результате испытаний, проводящихся в одинаковых условиях, т.е. надо знать вероятности их появления.

Рассмотрим ДСВ Х с возможными значениями Х=х₁, Х=х₂, Х=х₃,…, Х=х_n

В результате опыта СВ примет одно и только одно из этих значений. Другими словами, произойдет одно из несовместных событий, образующих полную группу: Х=х₁, Х=х₂, Х=х₃,…, Х=х_n. Обозначим вероятность этих событий буквами р с соответствующими индексами: Р (Х=х₁)=р₁, Р(Х=х₂)=р₂, Р(Х=х₃)=р₃,…, Р(Х=х_n)=р_n. Так как указанные события образуют полную группу, то сумма вероятностей появления возможных значений СВ =1, т.е.

(1)

Если же множество значений СВ образует бесконечное, но счетное множество, то ряд сходится и его сумма равна 1.

Таким образом, суммарная вероятность распределена между всеми значениями СВ.

Определив все возможные значения СВ Х и правило, по которому каждому событию Х=х₁, Х=х₂, Х=х₃,…, Х=х_n ставится в соответствие вероятность, то есть правило распределения вероятностей между значениями СВ по которому можно получить полное представление о СВ.

Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями СВ (или их совокупностями, заключенными в определенном интервале) и соответствующими им вероятностями.

При помощи закона распределения можно определить:

1) вероятность того, что в результате испытания СВ примет одно из возможных своих значений;

2) вероятность того, что СВ окажется меньше или больше некоторого заданного числа;

3) вероятность попадания СВ на заданный интервал;

4) значения различных числовых характеристик СВ.

Примеры СВ

Эксперимент	Случайная величина	Возможные значения случайной величины
Контроль качества 70 деталей	Число дефектных деталей	0, 1, 2,..., 70
Строительство жилого дома	Процент завершенного строительства спустя 6 месяцев	0 х 100
Проверка степени загрузки операционного отдела банка	Число клиентов в течение рабочего дня	0, 1, 2,..., n
Торговля автомобилями	Число продаж в течение месяца	0, 1, 2,..., n

 

Закон распределения СВ может иметь разные формы: ряд распределения, функция распределения, плотность распределения.