Студопедия — Свойства функции F(x) (самостоятельно)
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Свойства функции F(x) (самостоятельно)






  Значения интегральной функции принадлежат отрезку [0;1], т.е. 0£F(x) £1 (6)

Доказательство:

Так как по определению F(x) - это вероятность Р(Х<х), а вероятность всегда есть число неотрицательное, не превышающее 1.

 

  F(x)- функция неубывающая, т.е. F(x2) ³ F(x1), если x2 > x1

Доказательство:

Рассмотрим событие Х<х2. Оно может быть представлено в виде суммы двух несовместных событий, т.е. (или Х<х1, или х1£Х<х2).

 

 


х1£Х<х2

Применим теорему сложения вероятностей для несовместных событий.

Р (Х<х2)= Р (Х<х1)+ Р (х1£Х<х2)

отсюда

Р (Х<х2)-Р (Х<х1)=Р (х1£Х<х2) или F(x2) -F(x1) = Р (х1£Х<х2) (*)

Так как любая вероятность есть число неотрицательное, то:

F(x2) -F(x1)³ 0 или F(x2) ³ F(x1).

Следствие 1. Вероятность попадания СВ Х в заданный интервал.

    Вероятность того, что СВ Х примет значение, заключенное в интервале ] a;b [,равна приращению интегральной функции на этом интервале, т.е. P(α£X<b)=F(b)-F(α) (7)

Это следует из равенства (*) при Х1 = a Х2= b.

Следствие 2

  Вероятность того, что непрерывная СВ примет одно определенное значение, равна нулю, т.е. (8)

Доказательство:

Пусть Х- непрерывная СВ. Рассмотрим формулу 7 следствия 1:

Р(a £ Х<b) = F(b)- F(a).

Пусть a=х1, а b= х1+ Dх. Тогда Р(х1 £ Х < х1+ Dх)= F(x1+ Dх) -F(x1).

Пусть Dх®0. Так как Х- непрерывная СВ, то функция F(x)- непрерывная. В силу непрерывности F(x) в точке х1 разность F(x1+ Dх) -F(x1) будет ®0 и, следовательно, [F(x1+ Dх) -F(x1)]=0; а Р(х1 £ Х < х1+ Dх)=Р (х=х1). Итак, Р (х=х1)=0.

В принципе, для дискретной СВ можно указать вероятность появления каждого ее значения, а для непрерывной СВ это сделать нельзя. Допустим, требуется определить вероятность того, что расход топлива на 100 километров пути составит точно 12 литров. Однако в зависимости от типа трассы, технического состояния автомобиля, качества топлива и многих других факторов расход горючего абсолютно точно измерить нельзя. Количество бензина, расходуемого на 100 км. пути от заправки к заправке будет немного меняться. Вероятность того, что это будет точно 12 литров практически равна нулю.

Р(Х) =0

Используя это положение, убедимся в справедливости равенства.

Р(a £ Х<b)= Р(a < Х<b) = Р(a<Х£ b) = Р(a £ Х£ b) (9)

Например, докажем, что:

1) Р(a<Х£ b)= Р(a < Х<b)

Р(a<Х£ b) = Р(a < Х<b) + Р (Х=b=0) = Р(a < Х<b)

2) Р(a £ Х<b) = Р(х=a =0)+ Р(a < Х<b)= Р(a < Х<b).

При определении вероятности того, что НСВ попадет в интервал, можно не делать различия между случаями, когда концы интервала принадлежат или н принадлежат интервалу.

 

  Если возможные значения СВ принадлежат отрезку [a;b], то: 1) F(x) =0 при х £ a 2) F(x) =1 при х> b.

Доказательство:

 

интервал

возможных

значений

Пусть СВ Х<a, тогда событие (Х<х)=Æ, т.е. Р(Х<х)= F(x) =0.

Пусть СВ Х> b, тогда событие (Х<х)=W и Р(Х<х)= F(x) = 1.

Следствие:

  Если возможные значения непрерывной СВ расположены на всей оси ОХ, то справедливы следующие предельные соотношения:

 

  F(x) =0; F(x) =1 (10)

или

F(-¥)= 0, (10’)

так как событие (Х<-¥) = Æ и

F(+¥)=1, (10”)

Так как событие (Х<+¥)=W.

 

 

  Вероятность того, что СВ Х примет значение, большее или равное х, равна разности между единицей и функцией распределения при этом значении х. т.е. Р (Х³х)=1 - F(x) (11)

Доказательство:

События (Х³х) и (Х<х)- противоположные, поэтому

Р (Х³х)+ Р(Х<х)=1

Р (Х³х) =1- Р(Х<х), т.е. Р (Х³х) =1- F(x)

 







Дата добавления: 2015-10-15; просмотров: 422. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Конституционно-правовые нормы, их особенности и виды Характеристика отрасли права немыслима без уяснения особенностей составляющих ее норм...

Толкование Конституции Российской Федерации: виды, способы, юридическое значение Толкование права – это специальный вид юридической деятельности по раскрытию смыслового содержания правовых норм, необходимый в процессе как законотворчества, так и реализации права...

Значення творчості Г.Сковороди для розвитку української культури Важливий внесок в історію всієї духовної культури українського народу та її барокової літературно-філософської традиції зробив, зокрема, Григорій Савич Сковорода (1722—1794 pp...

Философские школы эпохи эллинизма (неоплатонизм, эпикуреизм, стоицизм, скептицизм). Эпоха эллинизма со времени походов Александра Македонского, в результате которых была образована гигантская империя от Индии на востоке до Греции и Македонии на западе...

Демографияда "Демографиялық жарылыс" дегеніміз не? Демография (грекше демос — халық) — халықтың құрылымын...

Субъективные признаки контрабанды огнестрельного оружия или его основных частей   Переходя к рассмотрению субъективной стороны контрабанды, остановимся на теоретическом понятии субъективной стороны состава преступления...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия