Статья 1. Сфера применения настоящей Конвенции

І. Функція двох змінних. Функція визначає одну зі змінних х або у як неявну функцію іншої змінної. Поданий вираз — це деяке рівняння, що містить х та у і всі члени якого перенесені в ліву частину. Нехай . Тоді . Проте оскільки , то і Звідси

(17)

Розв’язавши рівняння (17) відносно (вважаючи, що і існують), знайдемо залежність

(18)

Це так звана формула диференціювання неявної функції.

Нею подаються відносні швидкості зміни значень х щодо значень у, чим забезпечується незмінність f (x, y). Геометрично це означає, що точка (x, y) рухається вздовж кривої, рівняння якої є и = f (x, y), а (18) визначає для будь-якого моменту напрям її руху.

Для функції знайти .

●Нехай

З рівняння (18) знаходимо:

.

Відомо, що змінна х, проходячи через значення х = 3 дм, зростає зі швидкістю 2 дм/с. З’ясуємо, з якою швидкістю має змінюватись у при у = 1 дм, щоб функція 2 ху ² – 3 х ² у лишалася сталою.

●Нехай

знаходимо частинні похідні цієї функції за х і за у:

Підставляючи в (18), маємо:

, або .

За умовою х = 3, у = 1, , звідки (дм/с).

Знайти похідні від функцій

1.

●

2.

●

3.

●

4.

●

5.

●

 

ІІ. Функція трьох змінних. Нехай Р (х, у, z) — точка на поверхні, заданій рівнянням:

, (19)

і нехай РС і АР — перерізи, що утворюються площинами, проведеними через точку Р паралельно площинам Y 0 Z і X 0 Z (рис. 1.24). Для точок кривої АР змінна у лишається сталою. Отже, згідно з (19) z є неявною функцією лише х, а на підставі (16) виконується рівність:

(20)

Геометрична інтерпретація. Формула (20) визначає тангенс кута нахилу кривої АР у точці Р до осі0 х.

Рис. 1.24

У лівій її частині замість записано , оскільки згідно з (19) змінна z була спочатку неявною функцією х і у (формулу (20) виведено за припущення, що величина у лишається сталою).

Аналогічно нахил кривої РС до осі 0 y у точці Р задається рівнянням:

. (21)

Знайти в точці (1, 1) частинні похідні функції u = f (x, y), заданої неявно:

 

. (22)

 

●Маємо F (x, y, u) = . Із рівняння (22) знайдемо значення функції u в точці (1, 1):

Функція F (x, y, u) дорівнює 0 в точці (1, 1, 5) і неперервна в її околі, а частинні похідні цієї функції

також неперервні.

Отже, частинні похідні неявної функції можна знайти за формулами (20) і (21). Частинні похідні функції у точці (1, 1, 5) такі: , ,

Тоді частинні похідні функції u = f (x, y) у цій точці такі:
,

1.2.10. Формула Тейлора для функції
двох змінних

Нехай функція двох змінних z = f (x, y) в околі точки (x ₀, y ₀) має неперервні похідні всіх порядків до m включно. Тоді в цьому околі справджується рівність:

(23)

де

Означення. Многочлен

називають многочленом Тейлора m -го порядку функції f (x, y),
а функцію

— залишковим членом m -го порядку формули Тейлора.

Формулу (23) називають формулою Тейлора m -го порядку функції f (x, y) в околі точки (x ₀, y ₀) із залишковим членом у формулі Пеано. Зокрема, при x ₀ = y ₀ = 0 формулу (23) називають формулою Маклорена.

Якщо функція f (x, y) має в околі точки (x ₀, y ₀) неперервні похід­ні до (m + 1)-го порядку включно, то для будь-якої точки (x, y) із цього околу знайдеться точка , , така що

(24)

де P_m (x, y) — многочлен Тейлора.

Формулу (24) називають формулою Тейлора із залишковим членом у формі Лагранжа. Якщо функція f (x, y) подається у вигляді (23), (24), то говорять, що вона розкладена за формулою Тейлора в околі точки (x ₀, y ₀).

Для функцій трьох і більшої кількості змінних формула Тейлора виводиться аналогічно.

Наприклад, для функції z = f (x ₁, x ₂, x ₃, …, x_n) у точці формула (23) набирає вигляду

,

де , і підсумовування викону-
ється за всіма цілими невід’ємними a _і, такими що .

1.2.11. Визначник Якобі (якобіан)

Важливим формальним засобом дослідження функцій є визначники, утворені з частинних похідних.

Нехай дано n функцій n змінних:

(25)

які визначені в деякій n -вимірній області D і мають у ній неперервні похідні за всіма змінними. Складемо із цих похідних визначник

. (26)

Визначник (26) називають функціональним визначником Якобі, або якобіаном, системи функцій (25) за ім’ям німецького математика Якобі, який уперше вивчив його властивості.

Позначають якобіан символом

.

Якобіан має властивості, які подібні до властивостей звичайної похідної. Глибша аналогія між похідними та якобіанами розкривається в теорії неявних функцій, особливо коли йдеться про заміну змінних у кратних інтегралах.

1.2.12. Економічний зміст частинних похідних

Нехай задано функцію z = f (x, y).

Означення. Частинною еластичністю функції f відносно х називається величина

. (27)

Частинною еластичністю функції f відносно у називається величина

. (28)

Інтерпретація. :

Відсоткове відношення функції наближено дорівнює відсотковому відношенню змінної х з коефіцієнтом (коли у — величина стала).

Найчастіше в економіці застосовують поняття еластичності попиту.

Нехай функції q ₁ = f ₁(p ₁, p ₂) i q ₂ = f ₂(p ₁, p ₂) виражають попит на товари А і В, що залежать від цін р ₁ і р ₂ на зазначені товари. Частинні еластичності попиту щодо цін р ₁ і р ₂ за формулами (27) і (28) набирають вигляду:

Інтерпретація. Частинна еластичність попиту на товар А щодо ціни р ₁ цього товару наближено подає відсоток підвищення (або зниження) попиту на товар А, якщо його ціна зростає на 1%, а ціна товару В лишається незмінною.

Частинна еластичність попиту на товар А щодо ціни товару В наближено подає відсоток підвищення (зниження) попиту на товар А, якщо ціна товару В зростає на 1%, а товару А залишається без змін.

Функція попиту на товар А подається у вигляді

.

Знайти частинні коефіцієнти еластичностей.

●Маємо

.

Для цін р ₁ = 2, р ₂ = 4

.

Це означає, що коли ціна товару А зростає на 1%, а товару В залишається без змін, то попит на товар знижується на 0,2%. Рівність

відбиває аналогічну залежність: якщо ціна товару В зростає на 1% за незмінної ціни товару А, то попит на цей товар зростає приблизно на 0,2%.

Часть I. Общие положения

Статья 1. Сфера применения настоящей Конвенции

Настоящая Конвенция применяется к последствиям правопреемства государств в отношении государственной собственности, государственных архивов и государственных долгов.