Метод трапеций

 

СЕМІНАРСЬКІ ЗАНЯТТЯ

З КУРСУ

ПОРІВНЯЛЬНОЇ ПЕДАГОГІКИ

 

Укладачем використано матеріали навчального видання:

Курс лекцій з порівняльної педагогіки за загальною редакцією професора

Г. В. Троцко. – Харків, 2007. – 264 с.

 

 

II. Application Documents

Chinese Government Scholarships	Zhejiang Provincial Government Scholarships	ZSTU IntЎЇl Student Scholarships
1. ZSTU International Students Application Form	1. ZSTU International Students Application Form	1. ZSTU International Students Application Form
2. Application Form for Chinese Government Scholarships	2. Application Form for Zhejiang Provincial Government Scholarships	2. Application Form for ZSTU IntЎЇl Student Scholarships
3. Copy of valid passport	3. Copy of valid passport	3. Copy of valid passport
4. Highest diploma (notarized photocopy). Documents in languages other than Chinese or English must be attached with translations in Chinese or English.	4. Highest diploma (notarized photocopy). Documents in languages other than Chinese or English must be attached with translations in Chinese or English.	4. Highest diploma (notarized photocopy). Documents in languages other than Chinese or English must be attached with translations in Chinese or English.
5. Notarized copy of transcripts. Transcripts in languages other than Chinese or English must be attached with translations in Chinese or English.	5. Notarized copy of transcripts. Transcripts in languages other than Chinese or English must be attached with translations in Chinese or English.	5. Notarized copy of transcripts. Transcripts in languages other than Chinese or English must be attached with translations in Chinese or English.
6. Applicants overseas for master or doctoral degree studies and senior scholars must submit two letters of recommendation in Chinese or English by professors or associate professors.	6. Applicants for master or doctoral degree studies and senior scholars must submit two letters of recommendation in Chinese or English by professors or associate professors.	6. Applicants for master or doctoral degree studies and senior scholars must submit two letters of recommendation in Chinese or English by professors or associate professors.
7. Foreigner Physical Examination Form (the report is valid for 6 months)	7. Foreigner Physical Examination Form (the report is valid for 6 months)	7. Foreigner Physical Examination Form (the report is valid for 6 months)
8. Applicants under the age of 18 should submit the legal documents of their legal guardians in China.	8. Applicants under the age of 18 shall submit the legal documents of their legal guardians in China.	8. Applicants under the age of 18 should submit the legal documents of their legal guardians in China.
9. Applicants for fine arts must submit six color photographs of personal works (two sketches, two color paintings and two other works).	9. Valid copy of Chinese Proficiency Test (HSK) at required level	9. Valid copy of Chinese Proficiency Test (HSK) at required level
10. A study or research plan in Chinese or in English

Note: Other documents shall be submitted at request.

Forms can be downloaded in http://admission.zstu.edu.cn/en/news.asp?id=3&type1=7

МЕТОД РЕШЕНИЯ

Метод трапеций

По условию задачи исходными данными являются пределы интегрирования: a – нижний предел, b – верхний предел; также дано количество интервалов разбиения n.

Допустим, наша подынтегральная функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a;b], тогда разобьем отрезок [a;b] на количество интервалов n длины h точками, находящимися внутри отрезка (такие точки также называются узлами), то есть a = x₀<x₁<x₂<…<x_n1<x_n= b. В таком случае шаг разбиения находится как

h = ,

(1.1)

узлы определяются из равенства

xi = a+i·h,

(1.2)

где x_i –i-ый узел;

i = 0, 1, 2,…, n – номер узла.

Теперь рассмотрим подынтегральную функцию на элементарных отрезках [x_i-1;x_i], где i = 1, 2,…, n (Рис 1.1).

Рисунок 1.1 Метод трапеций

На каждом отрезке [x_i-1;x_i], i = 1, 2,…, n заменим функцию y = f(x) отрезком прямой проходящей через точки с координатами (x_i-1;f(x_i-1)) и (x_i;f(x_i)). В качестве приближенного значения интеграла возьмем выражение , то есть

(1.3)

Мы знаем, что площадь трапеции находится как произведение полу суммы оснований на высоту. Следовательно на рис.1.1, площадь криволинейной трапеции приближенно равна площади трапеции с основаниями f(x_i-1), f(x_i) и высотой h.

Теперь воспользуемся одним из свойств определенного интеграла, которое гласит, что если функция y = f(x) интегрируема на интервале X, причем a, b, c принадлежит X, то интеграл по всему отрезку равен сумме интегралов по частям этого отрезка

(1.4)

Тогда по свойству определенного интеграла, если в формулу 1.3 подставить приближенные значения интегралов, получаем

(1.5)

или

(1.6)

В результате мы получаем формулу трапеции для определенного интеграла, которая принимает вид

(1.7)

Проверим полученную формулу на примере, решив задачу аналитическим и графическим способом.

Пример

– формула трапеции

Для нахождения длины интервала разбиения используем формулу 1.1

h = (b-a)/n = 2/4 =0,5

Далее находим координаты всех узлов по формуле 1.2, и значение функции в этих узлах.

xi = a+i·h;	f(x) = x2+1;
i=0: x0 = 0+0·0,5 = 0;	f(x0) = f(0) = 0+1 = 1;
i=1: x1 = 0+1·0,5 = 0,5;	f(x1) = f(0,5) = 0,25+1 = 1,25;
i=2: x2 = 0+2·0,5 = 1;	f(x2) = f(1) = 1+1 = 2;
i=3: x3 = 0+3·0,5 = 1,5;	f(x3) = f(1,5) = 2,25+1 = 3,25;
i=4: x4 = 0+4·0,5 = 2.	f(x4) = f(2) = 4+1 = 5.

Аналитический способ.

Высчитываем определенный интеграл по формуле 1.7

Графический способ

Для решения задачи графическим способом прежде всего нам необходим график. Для построения графика установим зависимость координат x от y на отрезке от [0;2] и узла от значения функции в узле в виде таблиц.

i
xi		0,5		1,5
f(xi)		1,25		3,25

 

x
y

 

Выберем произвольный масштаб графика, построим оси, отметим полученные точки и соединим их, после разобьем график на элементарные отрезки, соединив ближайшие точки.

f(x1) f(x2) f(x3) f(x4) f(x5) f(xi) f(xi) f(xi)

Рис 1.2 Пример метода трапеций

Мы получили множество трапеций. Теперь осталось лишь посчитать их площади и сложить.

Ответ при графическом и аналитическом решении совпал. Следовательно метод верный.