Студопедия — ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЫ






 

1. Найти координаты вектора x в базисе {a,b,c}:

 

Указание: при решении системы применить правило Крамера.

 

1.1. x ={ -2, 4, 7 }, a ={ 0, 1, 2 }, b ={ 1, 0, 1 }, c ={ -1, 2, 4 }.

 

1.2. x ={ 6, 12, -1 }, a ={ 1, 3, 0 }, b ={ 2, -1, 1 }, c ={ 0, -1, 2 }.

 

1.3. x ={ 1, -4, 4 }, a ={ 2, 1, -1 }, b ={ 0, 3, 2 }, c ={ 1, -1, 1 }.

 

1.4. x ={ -9, 5, 5 }, a ={ 4, 1, 1 }, b ={ 2, 0, -3 }, c ={ -1, 2, 1 }.

 

1.5. x ={ -5, -5, 5 }, a ={ -2, 0, 1 }, b ={ 1, 3, -1 }, c ={ 0, 4, 1 }.

 

1.6. x ={ 13, 2, 7 }, a ={ 5, 1, 0 }, b ={ 2, -1, 3 }, c ={ 1, 0, -1 }.

 

1.7. x ={-19, -1, 7 }, a ={ 0, 1, 1 }, b ={ -2, 0, 1 }, c ={ 3, 1, 0 }.

 

1.8. x ={ 3, -3, 4 }, a ={ 1, 0, 2 }, b ={ 0, 1, 1 }, c ={ 2, -1, 4 }.

 

1.9. x ={ 3, 3, -1 }, a ={ 3, 1, 0 }, b ={ -1, 2, 1 }, c ={ -1, 0, 2 }.

 

1.10. x ={ -1, 7, -4 }, a ={ -1, 2, 1 }, b ={ 2, 0, 3 }, c ={ 1, 1, -1 }.

1.11. x ={ 6, 5, -14 }, a ={ 1, 1, 4 }, b ={ 0, -3, 2 }, c ={ 2, 1, -1 }.

 

1.12. x ={ 6, -1, 7 }, a ={ 1, -2, 0 }, b ={ -1, 1, 3 }, c ={ 1, 0, 4 }.

 

1.13. x ={ 5, 15, 0 }, a ={ 1, 0, 5 }, b ={ -1, 3, 2 }, c ={ 0, -1, 1 }.

 

1.14. x ={ 2, -1, 11 }, a ={ 1, 1, 0 }, b ={ 0, 1, -2 }, c ={ 1, 0, 3 }.

 

1.15. x ={ 11, 5, -3 }, a ={ 1, 0, 2 }, b ={ -1, 0, 1 }, c ={ 2, 5, -3 }.

 

1.16. x ={ 8, 0, 5 }, a ={ 2, 0, 1 }, b ={ 1, 1, 0 }, c ={ 4, 1, 2 }.

 

1.17. x ={ 3, 1, 8 }, a ={ 0, 1, 3 }, b ={ 1, 2, -1 }, c ={ 2, 0, -1 }.

 

1.18. x ={ 8, 1, 12 }, a ={ 1, 2, -1 }, b ={ 3, 0, 2 }, c ={ -1, 1, 1 }.

 

1.19. x ={ -9, -8, -3 }, a ={ 1, 4, 1 }, b ={ -3, 2, 0 }, c ={ 1, -1, 2 }.

 

1.20. x ={ -5, 9, -13 }, a ={ 0, 1, -2 }, b ={ 3, -1, 1 }, c ={ 4, 1, 0 }.

 

1.21. x ={ 2, 7, 5 }, a ={ 1, 0, 1 }, b ={ 1, -2, 0 }, c ={ 0, 3, 1 }.

 

1.22. x ={ 15, -20, -1 }, a ={ 0, 2, 1 }, b ={ 0, 1, -1 }, c ={ 5, -3, 2 }.

 

1.23 х= { 10, 1, 11 }, a = { 3, 1, -1}, b ={ 1, -1, 4}, c= { 2, 1, 5}

 

1.24 x= { 0, 6, -1}, a ={ -1, 2, 1}, b ={ 2, 1, -1}, c= { 1, 2, 2}

 

2. Даны координаты вершин тетраэдра А1 А2 А3 А4. Найти:

1) длину ребра А1 А2;

2) угол между ребрами А1 А2 и А1 А4;

3) угол между ребром А1 А4 и гранью А1 А2 А3;

4) площадь грани А1 А2 А3;

5) объем тетраэдра;

6) уравнения прямой А1А2;

7) уравнение плоскости А1 А2 А3;

8) уравнения высоты, опущенной из вершины А4 на грань А1 А2 А3;

9) расстояние вершины А4 до грани А1 А2 А3;

10) расстояние вершины А4 до ребра А1 А2.

 

Указание: все результаты представить точно в виде радикалов, а затем привести их приближенные значения.

 

А 1 А 2 А 3 А 4

2.1. (1, 3, 6) (2, 2, 1) (-1, 0, 1) (-4, 6, -3)

2.2. (-4, 2, 6) (2, -3, 0) (-10, 5, 8) (-5, 2, -4)

2.3. (7, 2, 4) (7, -1, -2) (3, 3, 1) (-4, 2, 1)

2.4. (2, 1, 4) (-1, 5, -2) (-7, -3, 2) (-6, -3, 6)

2.5. (-1, -5, 2) (-6, 0, -3) (3, 6, -3) (-10, 6, 7)

2.6. (0, -1, -1) (-2, 3, 5) (1, -5, -9) (-1, -6, 3)

2.7. (5, 2, 0) (2, 5, 0) (1, 2, 4) (-1, 1, 1)

2.8. (2, -1, -2) (1, 2, 1) (5, 0, -6) (-10, 9, -7)

2.9. (-2, 0, -4) (-1, 7, 1) (4, -8, - 4) (1, - 4, 6)

2.10. (14, 4, 5) (-5, -3, 2) (-2, -6, -3) (-2, 2, -1)

2.11. (1, 2, 0) (3, 0, -3) (5, 2, 6) (8, 4, -9)

2.12. (2, -1, 2) (1, 2, -1) (3, 2, 1) (-4, 2, 5)

2.13. (1, 1, 2) (-1, 1, 3) (2, -2, 4) (-1, 0, -2)

2.14. (2, 3, 1) (4, 1, -2) (6, 3, 7) (7, 5, -3)

2.15. (1, 1, -1) (2, 3, 1) (3, 2, 1) (5, 9, -8)

2.16. (1, 5, -7) (-3, 6, 3) (-2, 7, 3) (-4, 8, -12)

2.17. (-3, 4, -7) (1, 5, -4) (-5, -2, 0) (2, 5, 4)

2.18. (-1, 2, -3) (4, -1, 0) (2, 1, -2) (3, 4, 5)

2.19. (4, -1, 3) (-2, 1, 0) (0, -5, 1) (3, 2, -6)

2.20. (1, -1, 1) (-2, 0, 3) (2, 1, -1) (2, -2, -4)

2.21. (2, -4, -3) (5, -6, 0) (-1, 3, -3) (-10, -8, 7)

2.22. (1, -1, 2) (2, 1, 2) (1, 1, 4) (6, -3, 8)

2.23. (-1, 2, 4) (-1, -2, -4) (3, 0, -1) (7, -3, 1)

2.24. (0, -3, 1) (-4, 1, 2) (2, -1, 5) (3, 1, -4)

3. Линия задана уравнением в полярной системе координат. Требуется:

1) построить линию по точкам, начиная от =0 до =2 с шагом /8;

2) найти уравнение данной линии в декартовой системе координат, начало которой совпадает с полюсом, а положительная полуось абсцисс – с полярной осью;

3) по уравнению в декартовых координатах определить, какая это линия.

 

3.1. r =2/(1+cos ). 3.2. r =4/(2-3cos ). 3.3. r =1/(2-2cos ).

3.4. r =10/(2+cos ). 3.5. r =1/(2+2cos ). 3.6. r =1/(2+3cos ).

3.7. r =5/(2-cos ). 3.8. r =8/(3-cos ). 3.9. r =2/(3-4cos ).

3.10. r =5/(1-2cos ). 3.11 r =4/(3+cos ). 3.12. r =6/4+3cos ).

3.13. r =2/(2+5cos ). 3.14. r =3/(3+4cos ). 3.15. r =2/(3-2cos ).

3.16. r =3/(5-2cos ). 3.17. r =3/(2+4cos ). 3.18. r =5/(2-3cos ).

3.19. r =1/(4-cos ) 3.20. r =1/(3+cos ). 3.21. r =4/(1-cos ).

3.22. r =2/(5-3cos ). 3.23. r =1/(2-3cos ). 3.24. r =6(1+cos ).

 

4. Решить систему уравнений:

1) методом Гаусса;

2) средствами матричного исчисления (x=A_-1 B);

Указание: вычисления проводить с обычными дробями, не используя десятичных приближений.

 

4.1. х1 – х2 + 7х3 = 6 2х1 + 3х2 - 3х3 = 10 3х1 + 2х2 + 5х3 =17   4.2. 1 +9х2 + 2х3 = 1 7х1 + х2 - 4х3 = -13 8х1 + 3х2 - х3 = -13 4.3. 1 + 4х2 + 3х3 = 7 2х1 + 6х2 - 2х3 = 4 3х1 +10х2 + х3 = 11
4.4. 10х1 + х2 + 3х3 = 19 3х1 + 4х2 + 9х3 = 30 х1 + 2х2 + 2х3 = 7 4.5. 1 + х2 + 5х3 = 24 4х1 + 3х2 + 3х3 = 20 х1 + 6х2 + х3 = 6 4.6. х1 + 3х2 + 4х3 = 7 7х1 + 4х2 + 8х3 = 32 3х1 + 2х2 + 5х3 = 14  
4.7. х1 + 4х2 + 6х3 = 14 -2х1 +7х2 + 4х3 = 18 3х1 + 2х2 + 2х3 = 6   4.8. х1 + 6х2 + 3х3 = 21 4х1 + 8х2 + х3 = 18 3х1 + 5х2 + 4х3 = 33 4.9. 1 + 3х2 + 2х3 = 16 7х1 + х2 - 7х3 = 14 3х1 + 8х2 + 4х3 = 27
4.10. 1 + 4х2 + 3х3 = 2 2х1 + 3х2 + 4х3 = -5 х1 + 5х2 - 2х3 = -13 4.11. 1 + 2х2 + х3 = 5 2х1 + 3х2 + х3 = 1 2х1 + х2 + 3х3 = 11 4.12. х1 - 2х2 + 3х3 = 6 2х1 + 3х2 - 4х3 = 20 3х1 - 2х2 - 5х3 = 6  
4.13. 1 – 3х2 + 2х3 = 9 2х1 + 5х2 - 3х3 = 4 5х1 + 6х2 - 2х3 = 18   4.14. х1 + х2 + 2х3 = -1 2х1 - х2 + 2х3 = - 4 4х1 + х2 + 4х3 = - 2 4.15. 1 - х2 - х3 = 4 3х1 + 4х2 - 2х3 = 11 3х1 - 2х2 + 4х3 = 11
4.16. 1 + 4х2 + 2х3 = 8 2х1 - х2 - 3х3 = - 4 х1 + 5х2 + х3 = 0   4.17. х1 + х2 - х3 = 1 8х1 + 3х2 - 6х3 = 2 4х1 + х2 - 3х3 = 3 4.18. х1 - 4х2 - 2х3 = - 3 3х1 + х2 + х3 = 5 3х1 - 5х2 - 6х3 = -9  
4.19. 1 – 5х2 = 31 4х1 + 11х3 = - 43 2х1 2 + 4х3 = -20   4.20. х1 + 2х2 + 4х3 = 31 5х1 + х2 + 2х3 = 20 3х1 - х2 + х3 = 9 4.21. 1 + 3х2 - х3 = 4 х1 + 5х2 + 5х3 = 12 3х1 + 4х2 - 2х3 = - 4  
4.22. 1 + 4х3 = - 5 х1 + 2х2 = 3 х1 + х2 + х3 = 1 4.23. 2x1 + x2 - x3 = 5 x1 + 2x2 +x3 = 1 3x1 - x2 + x3 = 0 4.24. x1 + 2x2 +2x2 = 9 2x1 - x2 +2x3 = 4 3x1 + x2 - x3 = 3  

 

 

5. Найти какой-нибудь базис и определить размерность линейного пространства решений системы:

 

5.1. 3x1 + x2 - 8x3 + 2x4 + x5 = 0 5.2. 7x1 + 2x2 - x3 - 2x4 + 2x5 = 0

2x1 - 2x2 - 3x3 - 7x4 + 2x5 = 0 x1 - 3x2 + x3 - x4 - x5 = 0

x1 + 11x2 - 12x3 + 34x4 - 5x5 = 0 2x1 + 5x2 + 2x3 + x4 + x5 = 0

 

5.3. x1 + x2 + 10x3 + x4 - x5 = 0 5.4. 6x1 - 9x2 + 21x3 - 3x4 - 12x5 = 0

5x1 - x2 + 8x3 - 2x4 + 2x5 = 0 -4x1 + 6x2 - 14x3 + 2x4 + 8x5 = 0

3x1 - 3x2 - 12x3 - 4x4 + 4x5 = 0 2x1 - 3x2 + 7x3 - x4 - 4x5 = 0

 

5.5. 2x1 - x2 + 2x3 - x4 + x5 = 0 5.6. 5x1 - 2x2 + 3x3 - 4x4 - x5 = 0

x1 + 10x2 - 3x3 - 2x4 - x5 = 0 x1 + 4x2 - 3x3 + 2x4 - 5x5 = 0

4x1 + 19x2 - 4x3 - 5x4 - x5 = 0 6x1 + 2x2 - 2x4 - 6x5 = 0

 

5.7. 12x1 - x2 + 7x3 + 11x4 - x5 = 0 5.8. x1 + 2x2 + x3 + 4x4 + x5 = 0

24x1- 2 x2 + 14x3 + 22x4 -2x5 = 0 2x1 - x2 + 3x3 + x4 - 5x5 = 0

x1 + x2 + x3 - x4 + x5 = 0 x1 + 3x2 - x3 - 6x4 - x5 = 0

 

5.9. 2x1 - x2 + 3x3 - x4 - x5 = 0 5.10. x1 + x2 + x3 + 2x4 + x5 = 0

x1 + 5x2 - x3 + x4 + 2x5 = 0 x1 - 2x2 - 3x3 + x4 - x5 = 0

x1 + 16x2 - 6x3 + 4x4 + 7x5 = 0 2x1 - x2 - 2x3 + 3x4 = 0

 

5.11. 8x1 + x2 + x3 - x4 + 2x5 = 0 5.12. x1 + 3x2 - x3 + 12x4 - x5 = 0

3x1 - 3x2 - 2x3 + x4 - 3x5 = 0 2x1 - 2x2 + x3 - 10x4 + x5 = 0

5x1 + 4x2 + 3x3 - 2x4 + 5x5 = 0 3x1 + x2 + 2x4 = 0

 

5.13. 7x1 - 14x2 + 3x3 - x4 + x5 = 0 5.14. x1 + 2x2 + 3x3 + x4 - x5 = 0

x1 - 2x2 + x3 - 3x4 + 7x5 = 0 2x1 - 2x2 - 5x3 - 3x4 + x5 = 0

5x1 - 10x2 + x3 + 5x4 - 13x5 = 0 3x1 - 2x2 + 3x3 + 2x4 - x5 = 0

 

 

5.15. x1 + x2 + x3 - x4 - x5 = 0 5.16. 2x1 + x2 - 3x3 + x4 - x5 = 0

2x1 + x2 - 2x3 - x4 - 2x5 = 0 3x1 - x2 + 2x3 - x4 + 2x5 = 0

x1 + 2x2 + 5x3 - 2x4 - x5 = 0 x1 - 2x2 + 5x3 - 2x4 + 3x5 = 0

 

5.17. x1 + 2x2 - 3x3 + 10x4 -x5 = 0 5.18. 2x1 + x2 - x3 + 7x4 + 5x5 = 0

x1 - 2x2 + 3x3 - 10x4 + x5 = 0 x1 - 2x2 + 3x3 - 5x4 - 7x5 = 0

x1 + 6x2 - 9x3 + 30x4 - 3x5 = 0 3x1 - x2 + 2x3 + 2x4 - 2x5 = 0

 

5.19. 2x1 - 2x2 - 3x3 - 7x4 + 2x5 = 0 5.20. 3x1 + x2 - 8x3 + 2x4 + x5 = 0

x1 + 11x2 - 12x3+ 34x4 - 5x5 = 0 x1 + 11x2 -12x3 - 34x4 - 5x5 = 0

x1 - 5x2 + 2x3 - 16x4 + 3x5 = 0 x1 - 5x2 + 2x3 - 16x4 + 3x5 = 0

 

5.21. 3x1 + 2x2 - 2x3 - x4 + 4x5 = 0 5.22 x1 + x2 +3x3 - 2x4 +3x5 = 0

7x1 + 5x2 - 3x3 - 2x4 + x5 = 0 2x1 + 2x2 + 4x3 – x4 +3x5 = 0

x1 + x2 + x3 - 7x5 = 0 x1 + x2 + 5x3 – 5x4 + 6x5 = 0

 

5.23 x1 + 2x2 + 3x3 – 2x4 +x5 = 0 5.24 x1 + x2 + x3 + 2x4 +x5 = 0

x1 + 2x2 + 7x3 – 4x4 +x5 = 0 x1 – 2x2 – 3x3 +x4 – x5 = 0

x1 + 2x2 + 11x3 – 6x4 + x5 = 0 2x1 – x2 – 2x3 + 3x4 = 0

 

Пример решения: 5x1 + 2x2 - x3 + 3x4 + 4x5 = 0

3x1 + x2 - 2x3 + 3x4 + 5x5 = 0

6x1 + 3x2 - 2x3 + 4x4 + 7x5 = 0

 

Выпишем матрицу системы, нумеруя столбцы (нумеровать строки необязательно):

 

5 2 -1 3 4

3 1 -2 3 5

6 3 -2 4 7

(1) (2) (3) (4) (5)

 

и приведем ее к каноническому виду, применяя элементарные преобразования: умножение строки на число, перестановку строк, сложение строк, те же операции со столбцами. При этом следим за переставляемыми столбцами по их номерам.

 

1) Расположим в левом верхнем углу элемент, равный 1. (Если такого элемента в матрице нет, то следует поделить любой столбец на любой отличный от 0 его элемент). Для этого поменяем местами строки (1) и (2):

 

3 1 -2 3 5

5 2 -1 3 4

6 3 -2 4 7

(1) (2) (3) (4) (5)

 

Теперь поменяем столбцы (1) и (2):

 

1 3 -2 3 5 [-2], [-3]

2 5 -1 3 4

3 6 -2 4 7

(2) (1) (3) (4) (5)

 

В дальнейшем 1-я строка не подлежит изменению!

 

2) Сформируем нули во 2-й и 3-й строках первого столбца. Для этого умножим 1-ю строку на 1-й элемент 2-й строки и вычтем из 2-й строки. Так же поступим с 3-й строкой. (Множители указаны в [ ].)

 

1 3 -2 3 5

0 -1 3 -3 - 6 [ -1]

0 -3 4 -5 -8

(2) (1) (3) (4) (5)

 

В дальнейшем 1-й столбец не подлежит изменению!

 

3) Превратим в «1» 2-й элемент на главной диагонали, то есть стоящий во 2-й строке и 2-ом столбце. В нашем примере достаточно умножить на (-1) вторую строку. (В общем случае следует поделить 2-ю строку на этот элемент. Если же он равен 0, то предварительно переставляют строки не трогая 1-й (!), или столбцы не трогая 1-й (!).)

 

1 3 -2 3 5

0 1 - 3 3 6 [ 3 ]

0 -3 4 -5 -8

(2) (1) (3) (4) (5)

В дальнейшем 2-я строка не подлежит изменению!

 

4) Превратим в «0» 3-й элемент 2-го столбца. Для этого умножим 2-ю строку на (+3) и сложим с 3-ей.

[ 1 3 -2 ] 3 5

[ 0 1 - 3 ] 3 6

[ 0 0 - 5 ] 4 10

(2) (1) (3) (4) (5)

 

Под главной диагональю стоят нули, а на самой главной диагонали их нет. Этот вид и является каноническим. (В других вариантах 3-я строка, или даже 2-я и 3-я вместе, могут состоять из одних нулей.) Минор, содержащий ненулевые элементы главной диагонали, является базисным, (здесь он указан скобками [ ]), а исходные номера входящих в него столбцов: (2) (1) (3) -- определяют номера базисных неизвестных; остальные неизвестные – свободные, и члены уравнений, содержащие их, переносят в правую часть.

 

5) Полученный вид матрицы и деление неизвестных на базисные и свободные позволяют переписать систему так:

 

x2 + 3x1 -- 2x3 = -- 3x4 -- 5x5

x1 -- 3x3 = -- 3x4 -- 6x5

-- 5x3 = -- 4x4 -- 10x5

 

и выразить базисные неизвестные через свободные:

 

x3 = (4/5) x4 + 2x5

x1 = 3x3 – 3x4 – 6x5 = (- 3/5) x4

x2 = -- 3x1 + 2x3 – 3x4 – 5x5 = (2/5) x4 – x5

 

6) Полученное решение представим в виде линейной комбинации столбцов фундаментальной системы решений, образующей базис в линейном пространстве решений. Таких столбцов столько, сколько свободных неизвестных (здесь = 2).Проще всего последовательно придать одной из свободных неизвестных произвольное ненулевое значение, а остальные свободные неизвестные принять нулями.

В нашем примере удобно взять

 

1. x4 (1) = 5, x5 (1) = 0. Тогда x1 (1) = - 3, x2 (1) = 2, x3 (1) = 4

2. x4 (2) = 0, x5 (2) = 1. Тогда x1 (2) = 0, x2 (2) = - 1, x3 (2) = 2

 

Теперь общее решение можно записать так: x = C1 x (1) + C2 x (2). (Здесь С1, С2 – произвольные постоянные), или развернуто:

 

[x1] = [ - 3 ] [ 0 ]

[x2] = [ 2 ] [ - 1 ]

[x3] = C1 [ 4 ] + C2 [ 2 ]

[x4] = [ 5 ] [ 0 ]

[x5] = [ 0 ] [ 1 ]

 

Полезно проверить, что столбцы x (1), x (2) являются частными решениями исходной системы, то есть сделать прямую подстановку.

 

Сформулируем ответ на вопрос задачи: размерность пространства решений равна числу свободных неизвестных, (т.е. 2), а базисом в этом пространстве могут служить два найденных частных решения: x (1), x (2).

6. Дано уравнение кривой 2-го порядка. Найти собственные значения и собственные векторы матрицы соответствующей квадратичной формы и использовать их для приведения уравнения кривой к каноническому виду. Указать тип кривой.

 

6.1. –x2 – y2 +4xy + 2x – 4y + 1 = 0 6.2. 2x2 + 2y2 -- 2xy -- 2x – 2y + 1 = 0

6.3. 2xy + 2x – 2y = 0 6.4. -- 2x2 -- 2y2 +2xy -- 6x + 6y + 3 = 0

6.5. – 3x2 –3y2+4xy-- 6x+ 4y+2= 0 6.6. -- 2xy -- 2x – 2y + 1 = 0

6.7. –x2 – y2 -- 4xy -- 4x – 2y +2= 0 6.8. --4x2 -- 4y2 +2xy +10x--10y +1=0

6.9. 2xy + 2x – 2y -- 1 = 0 6.10. x2 + y2 + 2xy -- 8x – 8y + 1 = 0

6.11. x2 + y2 + 4xy -- 8x – 4y +1 = 0 6.12. x2 + y2 -- 2xy -- 2x + 2y -- 7 = 0

6.13. 2xy + 2x + 2y -- 3 = 0 6.14. 4x2 + 4y2 +2xy+12x + 12y +1 = 0

6.15. 3x2+3y2+4xy +8x +12y + 1 = 0 6.16. x2 + y2-- 8xy -- 20x + 20y + 1 = 0

6.17. 3x2+3y2-- 2xy--6x + 2y + 1 = 0 6.18. 4xy + 4x + 4y + 1 = 0

6.19. 3x2+3y2--4xy + 6 –4y -- 7 = 0 6.20. -- 2xy -- 2x + 2y + 3 = 0

6.21. 2x2 + 2y2 +4xy +8x +8y +1 =0 6.22 x2 + y2 – 4xy +4x – 2y +1 = 0

6.23 3x2 + 3y2 – 4xy +4x +4y +1 = 0 6.24 -4xy + 8x +8y +1 = 0

 

Рассмотрим пример 5x2 + 5y2 -- 2xy + 10x – 2y + 1 = 0

1) Выпишем симметричную матрицу квадратичной формы

 

5x2 + 5y2 -- 2xy: A= [ 5 -1]

[-1 5 ]

 

2) Находим собственные значения:

Det (A – E) = = (5 – l)2 – 1 = 0

Корни характеристического уравнения 2 - 10 +24 = 0, очевидно, таковы: 1 = 4,

2 = 6.

 

3) Найдем собственные векторы матрицы А, рассматривая однородную систему:

(5 – )u1 – u2 = 0

– u1 + (5 – )u2 = 0

При 1 = 4 имеем u1 =u2 и в качестве первого собственного вектора примем

u (1) = (1; 1)T.

(Знак (Т) означает транспонирование.) Нормируем его:

 

e (1)= u (1) / =(1; 1)T / .

(Напомним: если u = (u1, u2)T, то | u | = .)

При 2 = 6 имеем u1 = -u2. В качестве второго собственного вектора примем u (2) = (1; -1)T и нормируем его:

e (2)= u (2) / | u (2) |=(1; -1)T / .

 

4) Сделаем замену координат , где матрица перехода S имеет столбцами нормированные собственные векторы e (1), e (2) , то есть .

.

В новых координатах квадратичная форма примет вид

 

5x2 + 5y2 -- 2xy = l1x12 + l2 y12 = 4x12 + 6y12.

Это следует из общей теории, но полезно использовать равенство

(A x, x) = (AS x 1, S x 1) = (S TAS x 1, x 1) = ( A 1 x 1, x 1), откуда

A1 =S TAS = diag(l1 , l2) = ,

и проверить результат непосредственным матричным умножением.

В новых координатах уравнение кривой примет вид:

4x12 + 6y12 + 5 (x 1+ y 1) -- (x 1 -- y 1) +1 = 0.

 

7) Параллельным переносом осей координат устраним линейные члены. Соберем члены, содержащие x 1 и выделим полный квадрат:
4x1 2 + 4 x1 = 4(x1 + /2)2 – 2.

Аналогично поcтупим с членами, содержащими y1:
6 y1 2 + 6 y1 =6(y1 + /2)2 – 3.

Делаем замену переменных:

x2 = x1 + /2; y2 = y1 + /2,

в результате которой уравнение кривой принимает вид 4x2 2 + 6y2 2 – 4 = 0, и после деления на свободный член получаем

-- каноническое уравнение эллипса.

 







Дата добавления: 2015-10-15; просмотров: 2069. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Реформы П.А.Столыпина Сегодня уже никто не сомневается в том, что экономическая политика П...

Виды нарушений опорно-двигательного аппарата у детей В общеупотребительном значении нарушение опорно-двигательного аппарата (ОДА) идентифицируется с нарушениями двигательных функций и определенными органическими поражениями (дефектами)...

Особенности массовой коммуникации Развитие средств связи и информации привело к возникновению явления массовой коммуникации...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ МОЗГА ПОЗВОНОЧНЫХ Ихтиопсидный тип мозга характерен для низших позвоночных - рыб и амфибий...

Принципы, критерии и методы оценки и аттестации персонала   Аттестация персонала является одной их важнейших функций управления персоналом...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.015 сек.) русская версия | украинская версия