Студопедия — Интеграл Фурье
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Интеграл Фурье






Пусть функция задана на всей числовой прямой и абсолютна интегрируема на ней. Составим для интеграл, соответствующий в определенном смысле ряду Фурье, в котором суммирование по индексу заменено интегрированием по параметру :

, (31)

где , . (32)

Интеграл (31) аналогичен ряду Фурье периодической функции, только суммирование заменено интегрированием. Подставим (32) в (31), получим

 

.

Определение 8. Интеграл

(33)

называется интегралом Фурье функции .

Подобно тому, как при некоторых условиях периодическая функция раскладывается в ряд Фурье, так и при некоторых условиях , определенная на всей числовой представляется своим интегралом Фурье.

Теорема 17. Пусть:

1) кусочно-непрерывная на любом числовой прямой;

2) имеют всюду правую и левую производные, т.е. и для ;

3) интеграл сходится.

Тогда при любом имеет место равенство

. (34)

(Без доказательства.)

Вспомним понятие главного значения несобственного интеграла на действительной оси. Если интегрируема в собственном или несобственном смысле на любом отрезке числовой прямой (т.е. локально интегрируема), тогда

v.p. , (35)

где v.p. сокращение от value principle.

Отличие интеграла, стоящего справа, от интеграла слева в равенстве (35), состоит в том, что является пределом интегралов при произвольном стремлении , , а интеграл (35) предел тех же интегралов, но при и . Если существует несобственный интеграл, то существует и интеграл в смысле v.p., но не наоборот.

Например, не существует, а v.p. существует и равен нулю. Если – нечетная, то v.p. .

Пусть функция непрерывна и абсолютно интегрируема на всей числовой прямой, и имеет в односторонние производные, тогда по теореме 15

.

Отсюда, в силу четности косинуса, следует, что

.

Рассмотрим функцию

Она непрерывна и абсолютно интегрируема по признаку Вейерштрасса, так как , а – абсолютно интегрируема. В силу нечетности синуса также нечетная, поэтому

v.p. .

Тогда

.

Перепишем полученное равенство

.

Определение 9. Отображение F, ставящее в соответствие функции функцию (или ), определяемое формулой

называется преобразованием Фурье.

Отображение , ставящее в соответствие функции , функцию , определяемую формулой называется обратным преобразованием Фурье. Из формулы ясно, что .

Контрольные вопросы

1. Что называется функциональным рядом? Дайте определения сходящегося и равномерно сходящегося функциональных рядов. В чем состоит отличие?

2. Сформулируйте критерий Коши и признак Вейерштрасса для функциональных рядов. Приведите примеры применения.

3. Сформулируйте теорему о пределе суммы функционального ряда и теорему об её непрерывности. Приведите пример ряда с непрерывными функциями, у которого сумма является разрывной функцией.

4. Сформулируйте теоремы о дифференцировании и интегрировании функционального ряда. Приведите примеры применения.

5. Какой функциональный ряд называется степенным? Сформулируйте теорему Коши-Адамара. Какое множество является областью сходимости степенного ряда? Как его находят?

6. Сформулируйте теорему Абеля и теорему о почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда. Приведите пример применения последней теоремы.

7. Какой степенной ряд называется рядом Тейлора? Как определяются коэффициенты этого ряда?

8. В чем состоит необходимое и достаточное условие сходимости к своему ряду Тейлора? Только достаточное? Приведите пример функции, к которой не сходится её ряд Тейлора.

9. Запишите разложения следующих функций в ряд Маклорена: .

10. Что называется основной тригонометрической системой и тригонометрической системой общего вида? Что означает ортогональность этих систем?

11. Запишите тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье по основной тригонометрической системе и по тригонометрической системе общего вида.

12. Сформулируйте свойства коэффициентов Фурье, а также лемму Римана.

13. Запишите тригонометрический ряд Фурье и коэффициенты Фурье: а) для четных функций; б) для нечетных функций

14. Сформулируйте теорему Вейерштрасса. Какими свойствами должна обладать функция, чтобы абсолютно и равномерно сходился ее ряд Фурье?

15. Запишите тригонометрический ряд Фурье в комплексной форме и коэффициенты Фурье. Приведите пример.

16. Какой вид имеет интеграл Фурье? При каких условиях интеграл Фурье сходится? Запишите интегральное преобразование Фурье.

 

 







Дата добавления: 2015-10-15; просмотров: 781. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Расчет концентрации титрованных растворов с помощью поправочного коэффициента При выполнении серийных анализов ГОСТ или ведомственная инструкция обычно предусматривают применение раствора заданной концентрации или заданного титра...

Психолого-педагогическая характеристика студенческой группы   Характеристика группы составляется по 407 группе очного отделения зооинженерного факультета, бакалавриата по направлению «Биология» РГАУ-МСХА имени К...

Общая и профессиональная культура педагога: сущность, специфика, взаимосвязь Педагогическая культура- часть общечеловеческих культуры, в которой запечатлил духовные и материальные ценности образования и воспитания, осуществляя образовательно-воспитательный процесс...

Билет №7 (1 вопрос) Язык как средство общения и форма существования национальной культуры. Русский литературный язык как нормированная и обработанная форма общенародного языка Важнейшая функция языка - коммуникативная функция, т.е. функция общения Язык представлен в двух своих разновидностях...

Патристика и схоластика как этап в средневековой философии Основной задачей теологии является толкование Священного писания, доказательство существования Бога и формулировка догматов Церкви...

Основные симптомы при заболеваниях органов кровообращения При болезнях органов кровообращения больные могут предъявлять различные жалобы: боли в области сердца и за грудиной, одышка, сердцебиение, перебои в сердце, удушье, отеки, цианоз головная боль, увеличение печени, слабость...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия