Аналитическое решение нестационарных задач теплопроводности

1.1.1. Охлаждение неограниченной пластины ()

 

Постановка задачи: Дана пластина толщиной 2δ. Если толщина пластины мала по сравнению с длиной и шириной, то такую пластину обычно считают неограниченной. При заданных граничных условиях коэффициент теплоотдачи α одинаков для всех точек поверхности пластины. Изменение температуры происходит только в одном направлении Х, в двух других направлениях температура не изменяется , следовательно, в пространстве задача является одномерной.

Начальное распределение температуры задано: t(x,0)=t₀. Охлаждение происходит в среде с постоянной температурой t_ж=const. На обеих поверхностях отвод тепла осуществляется при постоянном во времени коэффициенте теплоотдачи a. Отсчет температуры пластины для любого момента времени будем вести от температуры окружающей среды, т.е. . Так как задача в пространстве одномерная, то дифференциальное уравнение примет вид:

 

. (1.2)

Начальные условия: при τ = 0 υ = υ_о.

 

Рис. 1.1. К охлаждению плоской неограниченной пластины

 

При заданных условиях охлаждения задача становится симметричной и начало координат удобно поместить на оси пластины, как показано на рис. 1.1. При этом граничные условия на оси и на поверхности пластины запишутся так:

на оси пластины х = 0 ;

на поверхности пластины при х = δ .

Дифференциальное уравнение (1.2) совместно с начальными и граничными условиями однозначно формируют поставленную задачу. Решение дифференциального уравнения (1.2) с учетом начальных и граничных условий и даст искомое распределение температуры в плоской пластине.

Решением дифференциального уравнения (1.2) является:

, (1.3)

где - корни характеристического уравнения

; (1.4)

- безразмерное число Био.

Наиболее просто характеристическое уравнение (1.4) можно решить графическим методом. Обозначим левую часть уравнения (1.4) через , а правую – через . Пересечение котангенсоиды у₁ с прямой у₂ даст нам значение корней характеристического уравнения.

 

Рис. 1.2. К решению уравнения (1.4)

 

Из рис. 1.2 следует, что имеется бесконечное множество значений величины μ_n, причем каждое последующее больше предыдущего:

μ₁< μ₂< μ₃<…< μ_n<…

 

1.1.2. Охлаждение бесконечного цилиндра ()

Цилиндр радиусом r_о отдает тепло окружающей среде через свою боковую поверхность; коэффициент теплоотдачи α во всех точках поверхности одинаков и остается постоянным на протяжении всего периода охлаждения. Температура среды t_ж постоянна. Начальное распределение температуры задано: t(r,0)=t₀. Отсчет температуры цилиндра будем вести, как и в предыдущем разделе, от температуры окружающей среды . Требуется найти распределение температуры внутри цилиндра.

При этих условиях уравнение теплопроводности принимает вид:

. (1.5)

Граничные и начальные условия:

при τ = 0 и 0 ≤ r ≤ r_o ;

при τ > 0 и r = 0 ;

при τ > 0 и r = r_о .

Решением дифференциального уравнения (1.5) является:

, (1.6)

где J_о, J₁ – функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядка; - корни характеристического уравнения

; (1.7)

- безразмерное число Био.

Функции Бесселя первого рода n- го порядка (n=0,1,2,..) может вычисляться разложением в ряд:

.

При вычислении функции Бесселя число членов ряда задать равным 20.

 

1.1.3. Охлаждение шара ()

Рассмотрим охлаждение шара радиусом r₀ в среде с постоянной температурой и с постоянным коэффициентом теплоотдачи α на его поверхности. Температура среды t_ж постоянна. Начальное распределение температуры задано: t(r,0)=t₀. Отсчет температуры шара будем вести, как и в предыдущих разделах, от температуры окружающей среды . Требуется найти распределение температуры внутри шара.

При этих условиях уравнение теплопроводности принимает вид:

. (1.8)

Граничные и начальные условия:

при τ = 0 и 0 ≤ r ≤ r_o ;

при τ > 0 и r = 0 ;

при τ > 0 и r = r_о .

Решением дифференциального уравнения (1.8) является:

, (1.9)

где - корни характеристического уравнения

; (1.10)

- безразмерное число Био.