Рыбинск 2007. 1. Убедитесь в присоединении заземляющих проводов к корпусам осциллографа, генератора.

3. Иродов И.Е. Волновая механика. Основные законы [Текст]/ И.Е.Иродов.– М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001–256 с.

 

ГОУ ВПО Рыбинская государственная авиационная технологическая

 

ТРЕБОВАНИЯ ТЕХНИКИ БЕЗОПАСНОСТИ

1. Убедитесь в присоединении заземляющих проводов к корпусам осциллографа, генератора.

2. Включать приборы только с разрешения преподавателя.

3. Не производить никаких переключений на лицевой панели осциллографа и генератора, кроме тех, что указаны в настоящем руководстве.

4. При обнаружении признаков неисправности (искрение, запах дыма) отключить приборы от сети и известить преподавателя.

 

При работе соблюдать нормы электробезопасности согласно инструкции №170, определяющей правила работы в лаборатории волновой механики!

 

 

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: наблюдение резонанса в цепи переменного тока, установление критериев его возникновения в параллельном и последовательном контурах.

ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ: блок исследуемых колебательных контуров с переключателем; звуковой генератор и осциллограф.

 

1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

Рис.1

Идеальный колебательный контур, состоящий из индуктивности L и ёмкости С, представляет собой линейный гармонический осциллятор, обладающий одной степенью свободы (рис. 1). Состояние такого контура в любой момент времени может быть однозначно описано единственным параметром – зарядом q на конденсаторе. Если сопротивление контура равно нулю, R =0, то при замыкании индуктивности на предварительно заряженный конденсатор с зарядом в контуре возникают гармонические колебания.

Падение напряжения на конденсаторе . При замыкании цепи в индуктивности возникает ЭДС индукции где ток , поэтому .

Согласно второму правилу Кирхгофа то есть , или

Рис. 2

Это уравнение является уравнением свободных гармонических колебаний с циклической частотой Его решение , где – заряд конденсатора в момент времени t = 0.

Для тока в катушке имеем:

 

–сдвиг фаз между током в контуре и напряжением на конденсаторе составляет π/2, ток опережает по фазе напряжения на конденсаторе на π/2 (рис.2).

Напряжение на конденсаторе меняется по закону:

При колебаниях происходит периодический переход электрической энергии конденсатора в магнитную энергию катушки . При этом полная электромагнитная энергия сохраняется.

Рис. 3

Всякий реальный контур обладает активным сопротивлением. Электромагнитная энергия в контуре постепенно расходуется в этом сопротивлении на нагревание проводника, вследствие чего колебания затухают. По второму правилу Кирхгофа для цепи на рис.3 имеем:

Разделим это уравнение на L и подставим ,

Учитывая, что , и обозначив , получаем

– дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

При , т.е. при ( – коэффициент затухания), решение этого уравнения имеет вид

, (1)

где . Подставив и , получаем Таким образом, частота затухающих колебаний меньше собственной частоты .

Для определения напряжения на конденсаторе разделим (1) на С, имеем

Чтобы найти закон изменения силы тока, продифференцируем (1) по времени:

 

Обозначим тогда

Рис. 4

Так как то – при наличии в контуре активного сопротивления сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе более, чем на

График функции представлен на рис.4.

Логарифмический декремент затухания Он определяется параметрами контура R, L, C и является характеристикой этого контура.

Если затухание невелико , то и Добротность контура в случае слабого затухания

При слабом затухании добротность контура пропорциональна отношению энергии, запасённой в контуре в данный момент, к убыли этой энергии за один период. Действительно, амплитуда силы тока в контуре убывает по закону . Энергия W, запасённая в контуре, пропорциональна квадрату амплитуды силы тока, следовательно W убывает по закону . Относительное уменьшение за период равно:

При незначительном затухании q <<;1 и можно считать ≈1-2q. Тогда добротность .

При частота становится комплексным числом, и происходит апериодический процесс разрядки конденсатора. Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим,

Чтобы вызвать вынужденные колебания, нужно оказывать на систему внешнее периодически изменяющееся воздействие. В случае электрических колебаний это можно осуществить, если включить последовательно с элементами контура переменную ЭДС или подать на контур переменное напряжение (рис.5).

Рис. 5

Цепь, в которой последовательно с ЭДС включенысопротивление R, индуктивность L и конденсатор С, называется последовательным колебательным контуром. Рассмотрим процессы в этом контуре.

По второму правилу Кирхгофа

или . Разделив на L, получаем уравнение вынужденных колебаний

(2)

Частное решение этого уравнения

(3)

где Подставим и :

Общее решение получится, если к частному решению (3) прибавить общее решение однородного дифференциального уравнения, которое было получено ранее. Оно содержит множитель , который очень быстро убывает, и при прошествии достаточно большого времени им можно пренебречь. Таким образом, установившиеся вынужденные электромагнитные колебания в контуре описываются уравнением (3).

Силу тока в контуре при установившихся колебаниях найдем, продифференцировав (3) по времени:

где – сдвиг фаз между током и приложенным напряжением. Тогда

Из этого выражения следует, что ток отстает по фазе от напряжения () при , и опережает напряжение () при . Для силы тока можно записать

. (4)

Представим соотношение (2) в виде: . Произведение – падение напряжения на активном сопротивлении; – падение напряжения на конденсаторе; – напряжение на индуктивности; тогда можно записать

. (5)

Таким образом, сумма напряжений на отдельных участках контура равна в каждый момент времени напряжению, приложенному извне.

Согласно (4) – напряжение на активном сопротивлении совпадает по фазе с током в контуре.

Для напряжения на конденсаторе, подставив (3), имеем – напряжение на ёмкости отстаёт от силы тока на π/2.

Напряжение на индуктивности

,

где ,– напряжение на индуктивности опережает ток на π/2.

Фазовые соотношения можно представить наглядно с помощью векторной диаграммы. Действительно, гармонические колебания можно задать с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебаний, а направление вектора образует с некоторой осью угол, равный начальной фазе колебаний. Возьмём в качестве прямой, от которой отсчитывается начальная фаза, ось токов (рис. 6).

Рис. 6

совпадает по фазе с током, – отстаёт на π/2), – опережает на π/2. Векторы , , в сумме дают , причём U определяется выражением (5).

При определенной частоте внешнего воздействия в контуре наступает резонанс. Резонансная частота для напряжения на конденсаторе и для заряда q равна:

Резонансные кривые для имеют вид, представленный на рис.7. Все резонансные частоты . При ω→0 резонансные кривые сходятся в одной точке – это напряжение на конденсаторе при подключении его к источнику постоянного напряжения . Максимум при резонансе тем острее и выше, чем меньше затухание β =R /2 L, то есть чем меньше R и больше L. Ход резонансной кривой аналогичен резонансной кривой при механических колебаниях.

Рис. 7

Резонансные кривые для тока приведены на рис. 8.

Амплитуда силы тока имеет максимальные значения, когда , то есть резонансная частота для силы тока совпадает с собственной частотой колебаний контура:

Рис. 8

При ω→0 сила тока уменьшается до нуля, так как при постоянном напряжении установившийся ток в цепи с конденсатором течь не может.

При малом затухании () резонансную частоту для напряжения можно считать равной . Тогда отношение амплитуды напряжения на конденсаторе при резонансе к амплитуде внешнего напряжения равно:

– то есть добротность контура показывает, во сколько раз напряжение на конденсаторе может превышать приложенное напряжение.

Итак, при резонансе причём поэтому

– амплитуды напряжений на ёмкости и индуктивности равны между собой, но противоположны по фазе. Поэтому напряжения на ёмкости и индуктивности компенсируют друг друга, и цепь ведёт себя как цепь только с активным сопротивлением. Вся энергия, приложенная к контуру, идёт на Ленц-Джоулево тепло. Ток в цепи достигает максимального значения. Это резонанс напряжений – индуктивного и емкостного .

Рассмотрим колебательный контур, в котором индуктивность L и ёмкость С соединены параллельно (рис. 9).

Рис. 9

Будем считать активное сопротивление близким к нулю, R ≈ 0. Для амплитуд напряжений на индуктивности и ёмкости имеем:

По второму правилу Кирхгофа токи и в каждый момент времени находятся в противофазе, поэтому

Ток в неразветвлённой цепи равен , или

.

При 1 / ω L= ω C ток I = 0. Условие резонанса токов – частота колебаний равна собственной:

Установившиеся вынужденные колебания можно рассматривать как протекание в цепи, обладающей ёмкостью, индуктивностью и активным сопротивлением, переменного тока, который обусловлен переменным напряжением:

.

Ток изменяется по закону амплитуда тока

Ток отстаёт от напряжения по фазе на угол : . Если <0, ток опережает напряжение.

Полное электрическое сопротивление (импеданс) равно

,

где R – активное сопротивление, – реактивное индуктивное сопротивление, – реактивное емкостное сопротивление.

Ток на индуктивности отстаёт от напряжения на π/2, а ток на емкости опережает напряжение на π/2. Выражение представляет собой реактивное сопротивление или реактанс.

С учётом сказанного Таким образом, если значения сопротивлений R и X отложить вдоль катетов треугольника, то длина гипотенузы будет численно равна Z (рис.10).

Рис. 10

Мощность, выделяемая в цепи переменного тока, равна

Из тригонометрии . Тогда Среднее значение обозначим р. Среднее значение , тогда

.

Однако тогда (рис.11).

Рис. 11

Такую же мощность развивает постоянный ток силой Это значение силы тока называется эффективным или действующим.

Аналогично действующее значение напряжения.

Тогда средняя мощность ; величина называется коэффициентом мощности. Чем меньше , тем ближе к 1, тем больше мощность.

 

 

2. ОПИСАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ УСТАНОВКИ

Схема установки представлена на рис.12, а ее внешний вид – на рис.13.

Экспериментальная установка состоит из звукового генератора – 1 (ЗГ), служащего внешним источником ЭДС, катушки индуктивности , двух конденсаторов С ₁, С ₂, активного сопротивления и трехпозиционного переключателя – 4 (П) с монтированных в одном корпусе – 3 и электронного осциллографа – 2 (ЭО) (см. рис.13).

При правом крайнем положении переключателя П (рис.12)замкнут контакт К ₁ и разомкнуты контакты К ₂ и К ₃, а конденсатор С ₁, индуктивность , и активное сопротивление образуют последовательный контур.

Рис. 12.

В левом крайнем положении переключателя контакт К ₁ разомкнут, а контакты К ₂ и К ₃ замкнуты. Тогда конденсатор С ₂, катушка и сопротивление образуют параллельный контур.

Элементы С ₁, С ₂, , , и переключатель смонтированы в одном блоке (корпусе), на вход которого подается сигнал со звукового генератора.

Напряжение выхода , снимаемое с зажимов контуров, регистрируется электронным осциллографом. Когда контакты К ₁, К ₂ и К ₃ разомкнуть, на ЭО поступает сигнал непосредственно со ЗГ. Роль активного сопротивления играют соединительные провода.

 

Рис. 13.

 

3. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Включить звуковой генератор и электронный осциллограф в сеть.

2. Поставить переключатель П в положение, соответствующее последовательному соединению , , и С ₁. Вращая ручку 5 регулятора частоты звукового генератора (см. рис.13), фиксировать изменение амплитуды напряжения, снимаемого с зажимов контура. Резонансу соответствует минимальная амплитуда напряжения на осциллографе.

3. Построить график зависимости амплитуды напряжения от частоты звукового генератора . Отметить резонансную частоту .

4. Перевести переключатель П в положение, при котором , , и С ₂ образуют параллельный контур. Вращая ручку регулятора частоты звукового генератора, фиксировать изменение амплитуды напряжения. Резонансу соответствует максимум напряжения на экране осциллографа.

Построить график зависимости амплитуды напряжения от частоты генератора . Отметить резонансную частоту .

В обоих случаях менять частоту от 4×10³ до 20×10³ Гц.

5. По формуле рассчитать значение емкостей С ₁ и С ₂, если известно, что индуктивность катушки Гн.

При расчетах помнить, что частота и линейная частота , считываемая со шкалы звукового генератора, связаны соотношением .

Данные эксперимента записать в табл.1.

 

Таблица 1

Данные эксперимента
№ п/п	Последовательный контур	Параллельный контур
(Гц)	(рад/с)	(В)	С 1 (Ф)	(Гц)	(рад/с)	(В)	С 2 (Ф)
1.
2.
3.

 

ПРИМЕЧАНИЕ: Для измерения переменного напряжения, подаваемого с контура на осциллограф, необходимо:

1. Поставить переключатель « / дел» в положение 1 В/дел.

2. Измерить на сетке число делений между крайними точками размаха амплитуды вертикального отклонения, разделить его на 2.

3. Умножить расстояние, измеренное выше, на показание переключателя « / дел».

НАПРИМЕР: размах вертикального отклонения амплитуды составляет 5,2 делений; переключатель « / дел» установлен в положение 1 В/дел. Тогда напряжение вертикального отклонения будет составлять: 5,2 дел. ´ 1 В/дел. = 5,2 В.

4. ТРЕБОВАНИЯ К ОФОРМЛЕНИЮ ОТЧЕТА

Отчет по лабораторной работе должен содержать формулировку цели работы, перечень приборов и оборудования и их характеристики, схему экспериментальной установки, расчетную формулу. Основные результаты работы заносятся в таблицу, в которой должно быть представлено не менее 6-10 результатов (по 3-5 на каждый вариант включения контура). В отчете привести формулу расчета погрешности и определение ее величины. Отчет закончить выводами.

5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Расскажите о свободных гармонических колебаниях в контуре.

2. Получите уравнение затухающих колебаний в контуре. Найдите законы изменения тока и напряжения.

3. Определите фазовые соотношения между током и напряжением в случае затухающих колебаний.

4. Чем определяется добротность контура?

5. Расскажите о вынужденных колебаниях в последовательном контуре. Как определить напряжение на индуктивности, емкости и активном сопротивлении?

6. Основываясь на векторной диаграмме, расскажите о резонансе в последовательном контуре.

7. Постройте резонансные кривые для тока и напряжения в последовательном контуре. Объясните их.

8. Нарисуйте векторную диаграмму для параллельного контура. Объясните резонанс в параллельном контуре.

9. Что такое импеданс? Получите выражение для него в случае последовательного и параллельного контура.

10. Получите выражение для мощности переменного тока.

11. Что такое действующее (эффективное) значение тока, напряжения?

12. С каких элементов контура снимается напряжение в исследуемой установке в случае последовательного контура? Почему при резонансе оно минимально?

13. С каких элементов контура снимается напряжение в исследуемой установке в случае параллельного контура? Почему при резонансе оно максимально?

6. ЛИТЕРАТУРА

1. Савельев И.В. Курс общей физики. В 3-х т. [Текст]: Учебное пособие / И. В. Савельев. – Изд.5-е, стереотип. – СПб.: Изд-во “Лань”, 2006. – Т. 2. – 486 с; §88 – 92, с. 258 – 273. – (Электричество и магнетизм. Волны. Оптика).

2. Иродов И.Е. Волновая механика. Основные законы [Текст]/ И.Е.Иродов.– М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001–256 с.