Резонаторы

Согласно ΔW = (N₂ – N₁) ρ_υ сσ₁₂ dt изменение плотности потока энергии излучения dI после прохождения слоя толщиной dx есть

(43)

где ΔN = N₂ – N₁, I = ρ_υ с - плотность потока энергии излучения ([ I ]=эрг/см²с); χ = σΔN - коэффициент поглощения. Интегрируя (43), получим

(44)

здесь I₀ - плотность потока анергии излучения на границе x = 0.

Из (44) следует, что излучение будет усиливаться, если в верхнем состоянии будет больше частиц, чем в нижнем (т.е. если ΔN = N₂ – N₁ >; 0 иχ > 0).

Однако инверсная, населенность является необходимым, но не достаточным условием усиления. В реальных веществах всегда имеются дополнительные, неучтенные в (43) причины, приводящие к потерям электромагнитной энергии (например, рассеяние энергии излучения на неоднородностях вещества и др.). С учетом этих, дополнительных потерь соотношение (43) примет вид

dI = Iχdx – Iξdx (44а)

где ξ; - коэффициент поглощения из-за дополнительных потерь в веществе, не связанных с данным переходом 1 → 2. Отсюда получим:

I = I₀ e ^{(χ – ξ) x}

Из (44 а) видно, что излучение усиливается, если индуцированное излучение с избытком компенсирует все потери электромагнитной энергии в веществе. Однако обычно коэффициент усиления настолько мал, что ( χ – ξ)L « 1 (L - длина вещества с инверсной населенностью) и излучение усиливается незначительно. Так, например, для того чтобы в кристалле рубина излучение усилилось в 100 раз он, как это следует из расчета, должен быть длиной ~ 5 м. Очевидно, что такой усилитель осуществить трудно. Применение принципа обратной связи – усиленный сигнал возвращается в усилитель, где он снова усиливается и т.д., позволило не только преодолеть эти трудности, но и создать генератор. Усилитель начнет самопроизвольно генерировать колебания, если усиление, достигаемое при помощи обратной связи, с избытком скомпенсирует все потери в системе усилитель-обратная связь. С этой целью, в случае оптического квантового генератора (ОКГ), активное вещество помещают внутри открытого резонатора, образованного двумя параллельными зеркалами, отстоящими друг от друга на расстоянии L (см. рис.5). Пусть зеркала в резонаторе идеальны, т.е. их коэффициенты отражения r = I. В этом случае излучение I₀, пройдя вещество, усилится в e^{L( χ – ξ)} раз, затем, отразившись от зеркала и повторно пройдя вещество, усилится еще в e^{L( χ – ξ)} раз, т.е. сделается равным I₀ e^{2L( χ – ξ)} и т.д. При этом может сложиться впечатление, что мощность излучения будет непрерывно нарастать. Однако это не так. Вынужденные переходы вниз приводят не только к уменьшению числа N₂ возбужденных атомов, но и к увеличению числа поглощающих атомов N₁.

 

Рис. 5. Схема резонатора:

1-активный элемент; 2 – зеркало с z = 1; 3 – зеркало с z ≠ 1; 4 – излучение, испытывающее усиление; 5 - излучение, не получающее усиления.

 

Поэтому, если непрерывно каким-либо образом не поддерживать инверсную населенность, наступит насыщение – равенство населенностей уровней N₂=N₁, и, следовательно, прекратится процесс усиления (т.к. ΔN = N₂ – N₁=0). Т.е. чем мощнее индуцированное излучение ОКГ, тем более мощным должен быть источник, поддерживающий инверсную населенность в активном веществе (система накачки).

Из рис. 5 видно, что заметное усиление испытывает только излучение, распространяющееся в малом телесном угле вблизи оси резонатора. Условие стационарной генерации состоит в том, чтобы фотон, выходящий из резонатора оставил в резонаторе идентичный себе фотон, т.е. произвел один квант вынужденного испускания, иначе, средняя линия, проходимая фотоном в активном веществе, должна быть не менее длины одного появления. Поскольку фотон проходит через резонатор в среднем 2/(1 – z) (z – коэффициент отражения выходного зеркала (3), второе зеркало (2) – глухое, z = 1), условием стационарной генерации будет:

(45)

Отсюда пороговая инверсия ΔN_пор. равна:

(46)

При ΔN > ΔN_пор. излучение в системе нарастает, при ΔN < ΔN_пор. затухает. Из (46) вытекает важный вывод: инверсная населенность в режиме стационарной генерации не зависит от условия накачки и равна пороговой.

Рассмотрим вопрос о возникновении генерации. В среде с конечной Т ≠ 0 температурой всегда существует некоторый фон излучения, обусловленный конечной (Т ≠ 0) заселенностью возбужденных уровней. При наличии накачки заселенности возбужденных уровней увеличивается по сравнению с равновесным, увеличивается и фон спонтанного излучения. Поскольку спонтанное излучение изотропно, то существует вероятность (порядка ,

где L – размер активного элемента; S = πd²/4 – площадь его торца) того, что испущенный фотон попадает в телесный угол вблизи оси резонатора, внутри которого излучение получает заметное усиление.

Именно эти фотоны (спонтанно испущенные) и являются родоначальниками процесса размножения фотонов, приводящего к (стационарной или импульсной) генерации.

Резонатор, кроме того, накладывает отпечаток на спектральный состав усиливаемого излучения.

Устойчивому усилению в резонаторах подлежит только излучение таких длин волн, которые являются собственными колебаниями резонатора (стоячие волны).

В оптических резонаторах номера собственных колебаний m достигают значительных величин m ~ 10⁵ и более. Из-за этого различие длин волн двух соседних типов колебаний или, как говорят, двух соседних мод, отличающихся номером на единицу, невелико, порядка Δλ_m~λ/m. Часто случается, что разница длин волн, двух соседних мод не превышает полосы длин волн, в которой активная среда способна усиливать излучение. В этом случае спектр излучения лазера состоит из нескольких узких линий, разница длин волн которых составляет Δλ_m.

 

Рис. 6. Спектр излучения лазера

 

Число таких линий (число генерируемых мод) есть

(47)

здесь  - характерная ширина спектра излучения лазера.

Не оценивая величины характерной ширины спектра излучения лазера, заметим лишь, что, поскольку коэффициент усиления в центре линии превышает коэффициент усиления в ее крыльях (коэффициент усиления (27) c = f(σ), а σ = f(ν); «центральные моды» усиливаются значительно сильнее крайних. Это приводит к резкому сужению характерной ширины спектра по сравнению со случаем когда инверсная населенность отсутствует, и ширина равна доплеровской, (или ширине линии флюоресценции).

В заключении рассмотрим вопрос о расходимости излучения лазера. До сих пор мы рассматривали только те типы колебаний, фронт волны которых перпендикулярен оси резонатора (продольные моды). Расходимость излучения продольных мод обусловлена, в основном, дифракцией на краях активного элемента лазера. В случае цилиндрического активного элемента диаметра D дифракционный угол имеет порядок φ ~ λ/D. Некоторый вклад (того же порядка величины) в расходимость вносят поперечные моды, т. е. излучение, распространяющееся под некоторым углом к оси резонатора.