Разложение функций в ряд Тейлора и его применение

1. А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть, Индивидуальные задания по высшей математике, - Мн.: Выш. Шк., 2000, 303 с.

2. А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть, Индивидуальные задания по высшей математике, Часть 2- Мн.: Выш. Шк., 2002, 396 с.

3. А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть, Индивидуальные задания по высшей математике, Часть 3- Мн.: Выш. Шк., 2002, 288 с.

4. Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т.Я. Высшая математика в упражнениях и задачах, Ч.1: Учеб. Пособие для втузов. – М.: Высш. Школа, 1999, - 304 с.

5. Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа, под редакцией А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича.– М.: Наука, 1981, 464 с.

 

Практическое занятие 11-2часа

Ряды Тейлора. Разложения элементарных функций в ряд Тейлора.

Применения ряда Тейлора

Разложение функций в ряд Тейлора и его применение

Пример 1.

1) Разложить по степеням разности x-1 функцию y= x⁴-2x³+2x+2

Формула Тейлора:

f(x)=f(a)+ (x-a)+ (x-a)²+ (x-a)³+ (x-a)ⁿ+×××

Для того чтобы воспользоваться формулой Тейлора при x₀=1 найдем: y(1)=2, y^¢(1)=(4x³-6x²+2)ç_x=1=0,

y^¢¢(1)=(12x²-12x)ç_x=1=0, y^¢¢¢(1)=(24x+12)ç_x=1=12,

y^IV (1)=24, y^V (x)=0, и т.д.

 

Следовательно, x⁴-2x³+2x+2=2+

 

Пример 2. Вычислить с точностью d=10^-3

Разложение функции в степенной ряд (1)

(-¥<x<¥)

Подставим в формулу (1) значение . Тогда

 

Так как остаток, знакочередующегося ряда |r_n|£ U_n+1 (и следствие из признака Лейбница остаток ряда всегда удовлетворяет условию

|R_n |<U_n+1), то достаточно найти член U_n+1, для которого U_n+1<d

Тогда S_n даст значение функции требуемой точности.

Очевидно, что уже третий член ряда поэтому с точностью ^-3

Sin - 0,479

Пример 3. Вычислить dx с точностью до 0,01. Вычислим интеграл

dx. Для этого разложим подинтегрaльную функцию в степенной ряд. Так как =1+ при любом t, то, подставляя (-x²) в место t, получим:

Почленно интегрируя, найдем:

Получился знакочередующийся ряд, удовлетворяющий признакам Лейбница, следовательно, ошибка при замене суммы ряда его частной суммой по абсолютной величине меньше абсолютной величины первого из отброшенных его членов. В частности, положив, что интеграл равен сумме первых двух слагаемых, мы делаем ошибку, меньшую Отсюда следует, что, ограничиваясь только двумя слагаемыми, мы получаем приближенное значение интеграла с точностью до 0,01:

или

 

Пример 4. Найти пять первых членов разложения в степенной ряд решения дифферен-циального уравнения

y^`=x²+y², если y(1)=1.

Из данного уравнения находим, что у`(1)=1+1=2. Дифференцируем исходное уравнение: y`` =2x+2yy`, y``(1)=6

y```=2+2 (y`)<sup>2</sup> + 2y y``, y```(1)=22

y^IV=4y`y``+2y`y``+2yy```, y^IV(1)=116 и т.д.

Подставляя найденные значения производных в ряд

, получаем

Пример 5. Вычислить с точностью =10^-3. Очевидно, что . Воспользуемся биноминальным рядом:

при

поскольку уже третий член отбросить в силу того, что он меньше

(из следствия признака Лейбница;

Следовательно,

Аудиторное задание

1. Разложить по степеням x+1 многочлен

2. Разложить в ряд по степеням x функцию и найти область сходимости полученного ряда.

3. Найти разложение в степенной ряд по степеням х решения дифференциального уравнения (записать три первых, отличных от нуля, члена этого разложения).

a) ; б) ; в) .

4. Используя разложение подинтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный определенный интеграл с точностью до 0,001

а) ; б) ; в)

6. Вычислить указанную величину приближенно с заданной степенью точности , воспользовавшись разложением в степенной ряд соответствующим образом подобранной функции

а) ; б) ; в) arcsin