Студопедия — Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.






Практическое занятие 3 -2 часа

Дифференциальные уравнение первого порядка.

Уравнение с разделяющимися переменными.

Однородные дифференциальные уравнения

Основные понятия.

Уравнение называется дифференциальным относительно некоторой искомой функции, если оно содержит хотя бы одну производную этой функции. дифференсиального уравнения совпадает(по определению) с порядком наивысшей производной, входящей в это уравнение.

Если искомая функция у является функцией одного аргумента х, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным. Если же искомая функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

Например, уравнение , где - является обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка, а где - дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка.

В общем случае дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано в виде

(1)

или, если разрешить его относительно , в явном виде:

. (2)

 

Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

Определение. Уравнение вида

(3)

называется дифференциальным уравнением с разделенными переменными.

Его общим интегралом будет

где С- произвольная постоянная.

Определение. Уравнение вида

(5)

или

(6)

а также уравнения, которые с помощью алгебраических преобразований приводятся к уравнениям (5) или (6), называются уравнениями с разделяющимися переменными.

Разделение переменных в уравнениях (5), (6) выполняется следующим образом. Предположим, что N1(y)≠0, M2(x)≠0, и разделим обе части уравнения (5) на . Обе части уравнения (1.3) умножим на dx и разделим на f2(y)≠0. В результате получим уравнения с разделенными переменными (т.е. уравнения вида (1.1)):

которые интегрируются, согласно формуле (4):

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

(7)

►Предположив, что и разделив обе части данного уравнения на получим уравнение с разделенными переменными

Интегрируя его, последовательно находим (произвольную постоянную можно представить в виде ):

Последнее равенство является общим интегралом уравнение (7). При его нахождении были приняты ограничения Однако функции также является решениями исходного уравнения,что легко проверяется; с другой стороны, они получаются из общего интеграла при С=0. Следовательно, частные решения уравнения (1).◄

Пример 2. Найти частное решение уравнения

удовлетворяющее начальному условию .

►Запишем данное уравнение в дифференциальной форме:

Теперь разделим переменные:

Проинтегрируем последнее уравнение:

,

Получили общее решение исходного уравнения.

Использовав начальное условие, определив значение произвольной постоянной:

Следовательно,частное решение исходного уравнения имеет вид

.◄







Дата добавления: 2015-10-15; просмотров: 422. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Сущность, виды и функции маркетинга персонала Перснал-маркетинг является новым понятием. В мировой практике маркетинга и управления персоналом он выделился в отдельное направление лишь в начале 90-х гг.XX века...

Разработка товарной и ценовой стратегии фирмы на российском рынке хлебопродуктов В начале 1994 г. английская фирма МОНО совместно с бельгийской ПЮРАТОС приняла решение о начале совместного проекта на российском рынке. Эти фирмы ведут деятельность в сопредельных сферах производства хлебопродуктов. МОНО – крупнейший в Великобритании...

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести...

Принципы и методы управления в таможенных органах Под принципами управления понимаются идеи, правила, основные положения и нормы поведения, которыми руководствуются общие, частные и организационно-технологические принципы...

ПРОФЕССИОНАЛЬНОЕ САМОВОСПИТАНИЕ И САМООБРАЗОВАНИЕ ПЕДАГОГА Воспитывать сегодня подрастающее поколение на со­временном уровне требований общества нельзя без по­стоянного обновления и обогащения своего профессио­нального педагогического потенциала...

Эффективность управления. Общие понятия о сущности и критериях эффективности. Эффективность управления – это экономическая категория, отражающая вклад управленческой деятельности в конечный результат работы организации...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия