Студопедия — Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

 

Практическое занятие 9-2часа

Знакочередующиеся ряды. Знакопеременные ряды

Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница

Рассмотрим ряды, члены которых имеют чередующиеся знаки, т.е.

(1), где . Такой ряд называется знакочередующимся.

Теорема (Лейбница). Если в знакочередующемся ряде (1) члены (2) - условие монотонного убывания и . То ряд (1) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.

Определение. Ряд называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные (количество положительных и количество отрицательных членов бесконечно, т.к. если конечное плюс бесконечное, то можно отбросить конечное число членов).

Знакочередующиеся ряды являются частным случаем знакопеременных рядов.

 

Рассмотрим знакопеременный ряд

(1)

и ряд, составленный из абсолютных величин

 

(2)

 

Определение. Ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд из абсолютных величин (2).

 

Теорема 1 (достаточный признак сходимости знакопеременного ряда). Если ряд (1) сходится абсолютно, то он сходится.

Замечание. Теорема 1 является достаточным признаком сходимости знакопеременного ряда, но не необходимым:

Существуют такие знакопеременные ряды, которые сами сходятся, но ряды, составленные из абсолютных величин их членов, расходятся.

Введем понятие условной сходимости знакопеременного ряда.

Определение. Ряд (1) называется условно сходящимся, если ряд из абсолютных величин расходится, а ряд сходится.

 

Пример 9.

Исследовать сходимость ряда.

.

Применим признак Лейбница. Так как

 

то

Следовательно, выполнено первое условие признака Лейбница. Далее, так как

то выполнено и второе условие. Значит, данный ряд сходится.

 

Пример 10.

Исследовать сходимость ряда

Первое условие признака Лейбница выполняется:

С другой стороны,

Так как , то не выполнен необходимый признак сходимости ряда. Ряд расходится.

Пример 11.

Исследовать сходимость ряда

Так как числа 1,7,13,19,25,31,… образуют арифметическую прогрессию с разностью , то . Исследуем на абсолютную сходимость:

По признаку Даламбера имеем

Следовательно, ряд сходится абсолютно.

 

Пример 12. Исследовать сходимость ряда

Исследуем на абсолютную сходимость:

Так как и ряд расходится, то абсолютной сходимости нет.

Исследуем на условную сходимость:

так как

1)

2)

То по признаку Лейбница ряд сходится условно.




<== предыдущая лекция | следующая лекция ==>
Теорема 3. (Интегральный признак сходимости ряда) | 

Дата добавления: 2015-10-15; просмотров: 410. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления....

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Плейотропное действие генов. Примеры. Плейотропное действие генов - это зависимость нескольких признаков от одного гена, то есть множественное действие одного гена...

Методика обучения письму и письменной речи на иностранном языке в средней школе. Различают письмо и письменную речь. Письмо – объект овладения графической и орфографической системами иностранного языка для фиксации языкового и речевого материала...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия