Рівняння хвилі

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 994

Знайдемо рівняння, яке б повністю описувало коливний рух в межах хвилі, подібно як рівняння описує гармонійне коливання матеріальної точки. Шукаємо рівняння деякої функції , яка має певні властивості. Зокрема, у процесі фіксації координати точки спостереження дана функція повинна перетворитися в рівняння коливань в даній точці:

,

де – початкова фаза коливань, залежна від координати.

З іншого боку, якщо в зафіксувати час , то дана функція повинна дати миттєву картину коливного процесу в усій ділянці простору, в якій існує хвиля.

Вірогідно, що повинна бути періодичною функцією і координати, оскільки однакова фаза коливань хвилі повторюється через відстані, що дорівнюють довжині хвилі .

Знайдемо рівняння плоскої хвилі, тобто хвилі, в якій фронт хвилі й усі хвильові поверхні є площинами, перпендикулярними до вектора швидкості .

Джерелом плоскої хвилі може бути достатньо протяжна площина. Нехай джерело плоскої хвилі лежить в площині і періодично зміщує частинки середовища вздовж Оx з частотою . Це означає, що в площині збуджуються гармонійні коливання

(8.1)

Унаслідок пружного зв’язку між частинками середовища в середовищі в напрямі ox будуть поширюватись коливання з швидкістю . До площини з координатою коливання надійдуть із запізненням .

Тому рівняння коливань в точці буде мати вигляд:

(8.2)

Рівняння (8.2) називають рівнянням плоскої хвилі, що поширюється в напрямі осі x.

Оскільки , рівняння (8.2) можна звести до вигляду :

(8.3)

де – хвильове число.

Для плоскої хвилі, що поширюється з початку координат з плоского джерела, довільно орієнтованого в просторі, рівняння хвилі матиме вигляд:

, (8.4)

де – координата точки спостереження коливань, – хвильовий вектор, – одиничний вектор нормалі до поверхні джерела коливань. У розгорнутому вигляді вираз (8.4) можна записати так:

(8.5)

Рівняння сферичної хвилі, що поширюється з точкового джерела, яке міститься у початку координат ( ), має вигляд:

(8.6)

де А – величина, чисельно рівна амплітуді коливань на відстані від джерела коливань.