Поняття функції багатьох змінних. Частинні похідні. Повний диференціал. Градієнт скалярної функції багатьох змінних

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1478

У багатьох задачах фізики маємо справу із змінними величинами, значення яких повністю визначають певним набором інших змінних величин. Наприклад, швидкість матеріальної точки під час її руху під дією сили залежить від координат і часу: , а під час розгляду нестаціонарного руху рідини швидкість частинок рідини також була функцією координати і часу . Подібні функціональні залежності, в яких деяка змінна величина є функцією певної кількості незалежних змінних величин, називають функціями багатьох змінних.

Розглянемо функцію , визначену в деякому околі точки . Зафіксуємо змінні та . Внаслідок отримаємо функцію , залежну лише від однієї змінної. Якщо ця функція має похідну за змінною , то цю похідну назвемо частинною похідною функції :

.

Величину називають частинним приростом функції за зміною у точці . Подібно можна знайти та . Отриманий результат справедливий не лише для точки ), але і для довільної точки . Пам’ятаємо лише, що частинну похідну беруть згідно з правилами диференціювання функції однієї змінної.

Приріст функції , обумовлений змінами та на та може бути записаний у вигляді:

(9.11)

Вираз (9.11) є повним диференціалом функції . Відзначимо, що повний диференціал може мати лише функція, диференційовна в точці . Вираз (9.11) дає лінійні стосовно та прирости функції .

Якщо сукупність змінних вважати складовими деякого вектора , то у тривимірному просторі повний диференціал можна виразити як скалярний добуток вектора на вектор :

(9.12)

Таким чином

= ,

або: (9.13)

Тут – диференціальний оператор Набла:

= . (9.14)

Вираз (9.13) показує операцію знаходження градієнта функції . Напрям вектора дає напрямок найшвидшої зміни функції .