ТА ПРОДОВОЛЬСТВА УКРАЇНИ

Дата добавления: 2014-11-10; просмотров: 1158

Лубенський фінансово-економічний коледж

Полтавської державної аграрної академії

Вища математика

В поняттях і прикладах

(посібник для самостійного та індивідуального вивчення дисципліни)

Номінація: «Сучасний навчальний посібник»

Автори:

Барінова Віра Іванівна – викладач математики та інформатики вищої категорії, викладач-методист;

Дзюба Світлана Миколаївна – викладач математики та інформатики першої категорії;

Конкіна Тетяна Миколаївна – викладач фізико-математичних дисциплін та інформатики вищої категорії.

Рецензент:

Крят Людмила Іванівна – викладач хімії та біології вищої категорії, старший викладач, Відмінник аграрної освіти та науки ІІІ ступеню, голова циклової комісії природничо-математичних дисциплін

Посібник, розроблений колективом викладачів з метою підвищення ефективності організації самостійної роботи з дисципліни «Вища математика» та забезпечення індивідуального підходу у навчанні, передбачає вивчення блоку теоретичних фактів (означень, теорем) у поєднанні з ілюстрацією їх практичного застосування та засобами контролю знань у вигляді підсумкових завдань для самоперевірки.

У посібнику представлено матеріали для вивчення основних тем курсу вищої математики згідно діючої програми для економічних спеціальностей вищих навчальних закладів І – ІІ рівнів акредитації, що обумовлює можливість ефективного його використання викладачами математики для проведення практичних занять, організації індивідуального та дистанційного навчання, а також студентами з метою самопідготовки.

План

Вступ

Тема 1. Елементи лінійної алгебри

Тема 2. Аналітична геометрія

Тема 3. Вступ до математичного аналізу

Тема 4. Диференціальне числення функції однієї змінної

Тема 5. Диференціальне числення функцій багатьох змінних

Тема 6. Інтегральне числення

Тема 7. Диференціальні рівняння

Висновки

Використана література

Вступ

На сучасному етапі розвитку суспільства математика відіграє важливу роль у теоретичних, технічних, економічних дослідженнях. Багато економічних, технічних та інших проблем можна успішно розв’язати за допомогою математичних методів.

Маючи на меті допомогти студентам, майбутнім спеціалістам різних галузей, оволодіти елементами вищої математики, викладачі Лубенського фінансово-економічного коледжу Полтавської державної аграрної академії, враховуючи досвід навчання студентів економічних спеціальностей, пропонують посібник для самостійного та індивідуального навчання. Цей посіб­ник складений згідно з програмою курсу вищої математики для вищих навчальних закладів I-II рівнів акредитації.

У посібнику стисло викладено основні поняття курсу вищої математики, наведено приклади виконання вправ. Для зручності і наочності вся інформація подана в табличному форматі. Кожен навчальний блок містить завдання для самоперевірки: контрольні питання і вправи з відповідями до них.

Посібник призначений для систематичного опрацювання, особливо тим, хто вперше ознайомлюються з навчальною дисципліною або опановують її самостійно чи виконують індивідуальні завдання.

Мета посібника – допомогти студентам денної і заочної форми навчання, фахівцям економічних, технічних та інших спеціальностей оволодіти математичним апаратом для розв’язування прикладних задач.

Матриці. Види матриць.
Прямокутна таблиця, що складається з т п чисел, розташованих в т рядках і п стовпцях, називається матрицею. Запис т п позначає розмірність матриці. Числа аik називаються елементами матриці, перший індекс - номер рядка, другий - номер стовпця. Матриці позначаються великими латинськими літерами: A, B, C, D… Дві матриці називаються рівними, якщо у них однакова кількість рядків і стовпців, і відповідні елементи рівні.   Матриця ,що одернується з матриці А заміною рядків стовпцями, нази­вається транспонованою відносно матриці А:	. Матриця має розмірність   A=B ;
Матриця називається прямокутною, якщо кількість рядків і стовпців різна (т п), і квадратною, якщо кількість рядків і стовпців однакова (т = п), тоді п - порядок матриці.   Головною діагоналлю квадратної матриці називається уявна пряма, що з'єднує її елементи, індекси яких одинакові. Ці елементи називають діагональ­ними.   Матрицею-рядком називається матриця, яка складається з одного рядка (1 n- матриця ).   Матрицею-стовпцем називається матриця, яка складається з одного стов­пця (т 1 - матриця).   Матриця називається нульовою (нуль-матрицею), якщо всі її елементи дорівнюють нулю. Позначають нульову матрицю – О.   Квадратна матриця, у якої всі елементи, що не стоять на головній діагона­лі, дорівнюють нулю, називаєтьсядіагональною. Одиничноюматрицею називається діагональна матриця, у якої всі діаго­нальні елементи дорівнюють одиниці. Позначають одиничну матрицю Е.	- прямокутна   - квадратна, другого порядку   Для матриці B: 3 і 4 – діагональні елементи
Дії над матрицями
Добутком матриці А та довільного числа називається матриця С, еле­ментами якої є добутки елементів матриці А та числа	;
Додавати (віднімати) можна тільки матриці однакової розмірності. Щоб додати (відняти) дві матриці треба додати (відняти) їх відповідні елементи.	Наприклад, обидві матриці , мають розмірність , тому за означенням можна утворити їх суму — матрицю
Добутком тр - матриці А та рп- матриці В називається тп - матриця С, елементи якої сік (і = 1, 2, ..., т; к = 1, 2, ... , п) дорівнюють сумі добутків відповідних елементів i - го рядка матриці А і j-го стовпця матриці В, тобто cik=anblk+aab2k+... + aipbpk. Добуток матриць А і В позначається АВ. Добуток АВ має зміст лише при умові, що кількість стовпців матриці А дорівнює кількості рядків матриці В.   Множення матриць не підлягає комутативному (переставному) закону. Матриці, які підлягають комутативному закону, називаються комутативними.
Визначники
Визначник – числова характеристика квадратної матриці. Визначником другого порядку називається вираз . Визначником третього порядкуназивається вираз: .	Для запам’ятовування правила обчислення визначника третього порядку існує схема (правило трикутників):
Квадратна матриця називається неособливою (невиродженою), якщо її визначник не дорівнює нулю, і особливою (виродженою), якщо її визначник дорівнює нулю.
Властивості визначників
Властивість 1. Визначник не змінюється в результаті тран­спонування. (З властивості 1 випливає, що будь-яке твердження, що справджується для рядків визначника, справджується і для його стовпців, і навпаки.) Властивість 2. Якщо один із рядків визначника складається лише з нулів, то такий визначник дорівнює нулю. Властивість 3. Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то його знак зміниться на протилежний. Властивість 4. Визначник, що має два однакові рядки, дорівнює нулю. Властивість 5. Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то й визначник помножиться на С. (З цієї властивості випливає, що спільний множник елементів рядка можна виносити за знак визначника.) Властивість 6. Визначник, що має два пропорційні рядки, дорівнює нулю. Властивість 7. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок у першому визначнику і другий доданок у другому визначнику, а решта елементів будуть ті самі, що й у початковому визначнику. Властивість 8. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи довільного іншого рядка, попередньо помножені не деяке число
Мінори та алгебраїчні доповнення
Нехай визначник має n рядків і n стовпців. Мінором k-го порядку k [1; n–1] називається визначник, утворений з елементів, розміщених на перетині будь-яких k рядків і k стовпців визначника. Зрозуміло, що мінор першого порядку — це будь-який елемент визначника.	Утворити кілька мінорів другого і один мінор третього порядку такого визначника: . , , , ... , . Мінори , , другого порядку утворюються з елементів, розміщених на перетині першого, другого рядків; першого, другого стовпців; третього, четвертого рядків; першого, третього стовпців; другого, четвертого рядків; третього, четвертого стовпців. Мінор третього порядку утворюється з елементів, розміщених на перетині другого, третього, четвертого рядків і першого, третього, четвертого стовпців. Верхній індекс означає нумерацію мінорів; нижній індекс — порядок мінора.
Доповняльним мінором для мінора k-го порядку називається такий мінор, який лишається у визначнику після викреслювання тих k рядків і тих k стовпців, на перетині яких містяться елементи, що утворили мінор k-го порядку.	Утворити доповняльний мінор другого порядку. Для визначника ∆ запишемо мінор другого порядку: ; . Цей мінор утворено з елементів, які містяться на перетині пер­шого і третього рядків та другого і четвертого стовпців. Викреслимо ці рядки та стовпці з визначника дістанемо — мінор, доповняльний до мінора другого порядку :
Алгебраїчне доповнення мінора — визначник, що складається з елементів, котрі не належать тим рядкам і тим стовпцям визначника, з яких утворено мінор, і береться зі знаком , де i1 i2, ..., ik, j1, j2, ..., jk, — індекси відповідно тих рядків і тих стовпців, які брали участь в утворенні мінора.	Знайти алгебраїчні доповнення мінорів матриці , , , , , , , , .
Обернена матриця
Матриця А–1 називається оберненою матрицею до квадратної невиродженої матриці А, якщо виконується співвідношення: .     Обернена матриця має вигляд: , де - алгебраїчні доповнення мінорів матриці А.   Рангом матриці А розміром називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора, утвореного з елементів цієї матриці. Зрозуміло, що , а найбільший можливий ранг матриці може дорівнювати меншому з чисел m і n.   Розглянемо також поняття обвідного мінора k-го порядку. Це буде такий мінор -го порядку, який повністю містить у собі мінор k-го порядку.   Обчислюючи ранг матриці, потрібно переходити від мінорів менших порядків, відмінних від нуля, до мінорів більших порядків. Якщо вже знайдено, відмінний від нуля, мінор М k-го порядку, то достатньо обчислити лише мінори -го порядку, що обводять мінор М. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює k. Якщо серед них знайдеться такий, що відмінний від нуля, то далі для нього будуються обвідні мінори -го порядку і т. д.   Елементарними перетвореннями матриці А називаються такі її перетворення:   1) заміна місцями двох рядків або двох стовпців матриці;   2) множення рядка або стовпця матриці на довільне відмінне від нуля число;   3) додавання елементів одного рядка або стовпця до відповідних елементів іншого рядка або стовпця, попередньо помноженого на деяке число.   Матриці, що мають рівні ранги, називатимемо еквівалентнимиматрицями.     Еквівалентні матриці об’єднують знаком «~» («тильда»).     Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці.	Знайти матрицю, обернену до матриці . Обчислимо: . — обернена матриця існує. , , , , , , , , . .     1.Знайти ранг матриці А методом обвідних мінорів, якщо . Мінор другого порядку, який міститься в лівому верхньому куті цієї матриці, дорівнює нулю: . Проте матриця А має й відмінні від нуля мінори другого порядку, наприклад . Далі запишемо мінор третього порядку, який обводить відмінний від нуля мінор другого порядку: Утворимо тепер обвідні мінори четвертого порядку для мінора третього порядку. Їх існує лише два: Обидва вони дорівнюють нулю, а це означає, що ранг початкової матриці дорівнює трьом. 2. За допомогою елементарних перетворень знайти ранг матриці . Виконаємо спочатку елементарні перетворення матриці. 1. Поміняємо місцями перший і другий стовпці: ~ ~   ~ (1)   2. За аналогією до того, як під час обчислення визначників утворювали нулі в рядках або стовпцях, утворимо нулі в першому стовпці. З цією метою всі елементи першого рядка спочатку помножимо на –4 і додамо до другого рядка, потім — на –1 і додамо до третього рядка і нарешті помножимо на 2 і додамо до четвертого рядка. У результаті дістанемо матрицю, яку в (1) записано другою. Помноживши тепер елементи першого стовпця послідовно на –2, –1, –3 і виконавши відповідне додавання, дістанемо останню матрицю в ланцюжку перетворень (1). 3. Помноживши другий рядок одержаної матриці на , третій — на , четвертий — на , дістанемо: . Виконаємо знову елементарні перетворення, аналогічні наведеним у п. 2, але візьмемо другий рядок і другий стовпець матриці. З остаточного вигляду матриці після виконання елементарних перетворень випливає, що її ранг дорівнює 2, оскільки єдиний мінор другого порядку не дорівнює нулю: . Решта мінорів вищого порядку дорівнюють нулю.
Завдання для самоперевірки
1) Матрицею називається ... 2) Для того щоб дістати суму двох матриць, потрібно ... 3) Для того щоб помножити матрицю на скаляр, потрібно ... 4) Для знаходження добутку двох матриць потрібно, щоб ... причому елемент сij матриці добутку дорівнює ... 5) Матриця А–1 називається оберненою до невиродженої матриці А, якщо ... 6) Рангом матриці називається ... 7) Мінором k-го порядку називається ... 8) Алгебраїчним доповненням називається ...
№1. Обчислити а) А-2В, якщо б) АВ, якщо №2. Знайти визначники а) ; б) ; в) ; г)   №3. Знайти матрицю, обернену до матриці = .
Відповіді
№1.а) ; б) . №2. а) 8; б) 0,46; в) 28; г) -42. №3. = =

Системи лінійних рівнянь. Системи n лінійних рівнянь з m невідомими. Формули Крамера для розв’язування систем лінійних рівнянь.
Розглянемо систему n лінійних рівнянь з m невідомими: Якщо головний визначник складений із коефі­цієнтів при невідомих системи n лінійних рівнянь з n невідомими (1.4), відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний розв’язок (сумісна і визначена), який обчислюється за формулами Крамера: , де — головний визначник системи, що утворюється з коефіцієнтів при невідомих у лівій частині системи (1.4); — визначник, який утворюється заміною j-го стовпця в головному визначнику на стовпець вільних членів.   Для системи двох рівнянь з двома невідомими: , ; ; . Формули Крамера: ; (при ).   Для системи трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими: , . Формули Крамера: ; ; , якщо .	Розв’язати систему лінійних рівнянь: Розв’язання. Обчислимо визначник . Так як , то система має єдиний розв’язок. Обчислимо інші визначники: ; , звідси, шуканий розв’язок системи: ; . Відповідь: (2; -3).   Розв’язати систему лінійних рівнянь: Розв’язання. Обчислимо визначник: Отже, система має єдиний розв’язок. Знайдемо інші визначники для обчислення розв’язку системи ; ; . Відповідь: (1; -2; 3).
Розв’язування систем лінійних рівнянь методом Гауса
Метод Гауса є універсальним методом, що дає змогу розв’язати систему n лінійних рівнянь з m невідомими, якщо визначник системи дорівнює нулю або кількість рівнянь не співпадає з кількістю невідомих. Метод Гауса є методом виключення змінних. Нехай А – основна матриця системи (складена з коефіцієнтів при невідомих), А|В – розширена матриця (утворена з основної приєднанням стовпця вільних членів). Елементарними перетвореннями можна звести розширену матрицю системи до ступінчастого вигляду, що дає можливість знайти розв’язки системи рівнянь.	Розв’яжемо систему лінійних рівнянь методом Гауса: Розв’язання. Використовуючи елементарні перетворення, зведемо розширену матрицю системи до ступінчастого вигляду: Маємо: . . Відповідь:
Сумісність систем рівнянь першого степеня. Теорема Кронекера-Капеллі
Розглянемо класифікацію систем лінійних рівнянь залежно від кількості розв’язків: сумісні(мають принаймні один розв’язок); несумісні(не мають жодного розв’язку); визначені(мають єдиний розв’язок); невизначені(мають безліч розв’язків). Теорема Кронекера-Капеллі. Система лінійних рівнянь сумісна тоді і тільки тоді, коли ранг основної матриці цієї системи дорівнює рангу розширеної матриці, тобто .   Якщо ранг дорівнює кількості невідомих ( ), то система визначена, якщо ж , то маємо невизначену систему. У такому випадку змінних вважаються базисними, а решта змінних – вільними. Надаючи вільним змінним різних значень, можна одержати різні розв’язки системи.	Розв’язати систему рівнянь: Знайдемо ранги матриць А і А|В: Ліворуч від вертикальної риски маємо головну матрицю А. Вилучивши риску, дістанемо розширену матрицю А|В. Такий запис дає змогу одночасно обчислювати ранги обох матриць за допомогою елементарних перетворень. З останнього перетворення випливає, що ранг матриці А дорівнює 2. Ранг матриці А|В дорівнює 3. Тобто . За теоремою Кронекера—Капеллі така система не має розв’язків (несумісна). Розв’язати за допомогою теореми Кронекера—Капеллі систему рівнянь: З останнього перетворення випливає, що . Початкова система еквівалентна системі: . Серед мінорів другого порядку, складених з елементів матриці коефіцієнтів при   невідомих, існує хоча б один відмінний від нуля. У нашому випадку їх кілька. Якщо відмінний від нуля мінор виберемо з коефіцієнтів при двох невідомих, то таким чином ми переведемо ці невідомі в розряд основних. Нехай, наприклад, це невідомі х1, х2. Тоді, перенісши решту невідомих у праву частину системи рівнянь, дістанемо: . Головний визначник цієї системи . Знайдемо і . . За правилом Крамера , . Останні рівності визначають загальний розв’язок системи рівнянь. Щоб дістати частинні розв’язки, достатньо надати вільним невідомим х3, х4, х5 деяких числових значень. Наприклад, якщо х3 = 0, х4 = 0, х5 = 0, маємо розв’язок ; якщо х3 = 2, х4 = 1, х5 = –2 — розв’язок (3, 5, 2, 1, –2) і т. д. Таких частинних розв’язків у даному разі можна побудувати нескінченну кількість. Останню систему рівнянь можна розв’язати і методом оберненої матриці, побудувавши обернену для матриці . Справді, , а тому: . Прирівнявши відповідні елементи матриць, дістанемо поперед­ній результат.
Матричний спосіб розв’язування систем лінійних рівнянь
Розглянемо систему алгебраїчних рівнянь першого степеня     Ввівши позначення   = , = , = ,   Запишемо дану систему у вигляді АХ=В. Припустимо, що 0. Тоді існує . Помноживши АХ=В зліва на , дістанемо = В. Оскільки = = = , то з = В випливає, що Х= В. Формула Х= В дає розв’язок системи алгебраїчних рівнянь першого степеня, записаний у матричній формі.	Розв’язати систему рівнянь   методом оберненої матриці. Розв’язання. Запишемо систему в матричному вигляді де , , . Для матриці А побудуємо обернену матрицю Обчислимо: — обернена матриця існує. , , , , , , , , .   тому за формулою маємо: . Отже, x1 = 1, x2 = 2, x3 = –1 — розв’язок системи.
Завдання для самоперевірки
1) Які системи лінійних рівнянь називаються сумісними? 2) Які системи лінійних рівнянь називаються несумісними? 3) Які системи лінійних рівнянь називаються визначеними? 4) Які системи лінійних рівнянь називаються невизначеними? 5) Сформулюйте терему Кронекера-Капеллі. 6) Сформулюйте правило Крамера. 7) Охарактеризуйте метод Гауса. 8) Запишіть систему лінійних рівнянь у матричному вигляді.
№ 1 Розв’яжіть системи рівнянь методом Гауса №2 Розв’яжіть системи рівнянь за правилом Крамера <== предыдущая лекция | следующая лекция ==> МІНІСТЕРСТВО АГРАРНОЇ ПОЛІТИКИ | Розв’яжіть системи рівнянь матричним способом 1 | <== 2 ==> | 3 |