Цифрова фільтрація — лінійна обробка біомедичних зображень та сигналів

 

Розвиток томографії став можливим завдяки розвитку обчислювальної техніки та цифрових методів обробки сигналів (коли сигнали представлені послідовностями двійкових кодів чисел — їх значень, відібраних через еквідистантні моменти часу). Застосування цифрових методів обробки сигналів в біотехнічних системах є природнім, оскільки спектри біосигналів та зображень лежать в області таких низьких частот, що застосування аналогової їх обробки, базованої на використанні пасивних реактивних радіоелементів, через їх значні габарити, низьку температурну та часову стабільність, надійність тощо у такому діапазоні частот неможливе. Крім того, біомедичні сигнали та зображення є складними, стохастичними, нестаціонарними, що вимагає унікальних АЧХ та ФЧХ пристроїв їх обробки, а це в свою чергу накладає такі вимоги до параметрів радіоелементів, отримання та підтримання яких або значно ускладнює технологію їх виробництва, або унеможливлює його.

Перевагою цифрової обчислювальної техніки у порівнянні з аналоговою є те, що за її допомогою можна забезпечити достатньо надійну, з унікальними параметрами (особливо для біомедичних застосувань), малими ґабаритами та енергозатратами обробку сигналів уніфікованими засобами. Крім того, цифрова техніка є надзвичайно серійно придатною [2, 3].

Рис. 8.1 Схема дискрет-ної обробки сигналу

Конструктивною (повно та несуперечливо формалізованою й за критерієм мінімальної складності оптимально інтерпретованою є дискретна лінійна обробка (фільтрація, рис. 8.1, — вихідна та вхідна послідовності, Y(z^-1), X(z^-1) — z- перетвори вихідної та вхідної послідовностей, h_n, H(z^-1) — послідовність відліків імпульсної характеристики обробки та її z- перетвір). Принцип лінійності включає в себе властивості суперпозиції (відгук від суми впливів такий самий, що і сума відгуків на кожен вплив зокрема), та однорідності (відгук на інтенсивний вплив такий самий, що і помножений на масштабний коефіцієнт відгук на вплив низько інтенсивний):

 

,

 

Рис. 8.2

де F(•) — лінійний оператор дискретної обробки (наприклад, згортка), — період дискретизації, — вихідна та вхідна послідовності. Тобто, характеристика лінійного дискретного фільтру не залежить від інтенсивності та складеності вхідного впливу. Лінійною обробкою є інтегрування, диференціювання, фільтрація (низькочастотна, смугова, високочастотна, оптимальна) та „віконна” обробка (windowing — зважування сигналу у часовій чи частотній областях значеннями деяких функцій (вікон) для, наприклад, зменшення проявлення ефекту від скінченності інтервалу спостереження сигналу — ефекту Ґ іббса). Якщо характеристики фільтрів змінюються (рис. 8.2) залежно від характеристик вхідного сигналу, то їх називають адаптивними, а якщо наперед узгоджуються з ними, то — оптимальними (адаптація чи оптимізація виконується, відповідно, в процесі самої фільтрації – автоматично, або закладається при розрахунку фільтра, причому, в обох випадках, за критерієм, вибраним з практичних міркувань).

За призначенням фільтри у томографії можуть бути: селективними, коректуючими, відновлювальними, згладжуючими, регуля-ризаційними. Для дотримання експлуатаційних та технічних вимог (габаритів, споживаної енергії, чутливості, точності тощо) застосовують різноманітні схемні рішення (заєднання елементів — схеми). Тоді фільтри можуть носити назву автора схеми (фільтр Рауха, фільтр Лінквіца-Райлі тощо).

Зауважимо, що різні схеми можуть мати однакову функціональну характеристику і навпаки (однакові схеми – різні характеристики, залежно від значень параметрів їх елементів, або коефіцієнтів їх характеристик — функції передачі, імпульсної вагової функції).

Досить часто характеристику фільтру апроксимують (наближають, наприклад, за значенням в її окремих точок). Тоді фільтр може носити назву автора чи методу апроксимації (фільтр Батерворта, Шепа-Лоґана тощо). Методи синтезу характеристик фільтра базуються на оптимізації їх з метою забезпечення оптимального значення наперед вибраного критерію, наприклад, відношення потужності відфільтрованого сигналу (зі суміші сигналу зі шумом) до потужності шуму, середньоквадратичного відхилення відфільтрованого зі суміші сигналу від заданого (тестового) сигналу тощо.

Регуляризаційний фільтр повинен забезпечити допустиме значення похибки розв’язку задачі реконструкції.

В томографії застосовують цифрові фільтри для:

Рис. 8.3

a) додаткового, після „грубої” аналогової фільтрації, зменшення ефекту „накладання” при дискретизації (aliasing, англ.) — антиалайзинговий фільтр (низькочастотний фільтр з характеристикою, зображеною на рис. 8.3, де з апроксимацією її, наприклад, поліномами Батерворта);

b) фільтрації при реконструкції методом зворотнього проектування (filter back projection method, FBP method, англ.) — фільтр з характеристикою, зображеною на рис. 6.3, апроксимованою функцією, наприклад, Шепа-Лоґана — ), (Shepp-Logan);

c) підвищення контрастності при реконструкції об’єкту, що містить, тканини досить різної густини (наприклад, кісткову та м’яку) — характеристика такого фільтру будується за (узгоджується з) апріорно відомим просторовим спектром перерізу об’єкту (або тестового зображення для цього перерізу), отриманим, наприклад, Фур’є перетворенням;

d) зменшення впливу рухів пацієнта (артефактів), наприклад, випадкових чи фізіологічних, тоді характеристика фільтра синтезується з використанням відомих спектрів артефактів та зображення перерізу об’єкту, фільтри виконуються за адаптивною схемою;

e) зменшення рівня випадкових шумів, тоді фільтри синтезуються методами Вінера-Колмогорова.

Базовою структурою цифрового фільтра при представленні входу у власній області (domain) можна взяти „згортку” — виконати фільтрацію за допомогою обчислень за формулою дискретної згортки вхідних відліків з імпульсною функцією [4-6]:

 

, .

 

де значення М вибирається залежно від значимості відліків імпульсної функції h. Наприклад, значення М може бути рівним номеру k відліку h_k, починаючи з якого значення цифрового коду h_k стають меншими ваги одного-двох молодших біт цього коду. Тоді синтез фільтру полягає у визначенні коефіцієнтів h_k — відліків імпульсної вагової функції. Це можна зробити застосувавши обернене перетворення Фур’є від отриманих за наведеними пп. (а-с) спектрами, або отримати такі коефіцієнти безпосередньо, використавши інші методи синтезу фільтрів, наприклад, наведених у пп. (d, e).

Обмеженням для застосування цифрових фільтрів є їх швидкодія (можливість обробляти сигнали зі спектрами у діапазоні високих частот). Проте, розвиток напівпровідникової технолоґії постійно збільшує верхню граничну частоту, з якою можуть працювати цифрові фільтри.