Решение. 1-й способ. Если уравнение x2+ax+b=0 имеет вещественный корень, то D1=a2-4b>= 0 или a2>= 4b

1-й способ. Если уравнение x²+ax+b=0 имеет вещественный корень, то D₁=a²-4b>= 0 или a²>= 4b. Отсюда сразу получим, что уравнение x²+2ax+2b=0 тоже имеет действительные корни, так как его дискриминант D₃/4=a²-2b>= 4b-2b=2b>= 0, если b>= 0. Если же b<0, то D₃ тем более неотрицателен. Рассматривая различные четыре комбинации знаков для параметров a и b, замечаем, что достаточно рассмотреть один случай, так как при других комбинациях лишь меняются ролями первое и второе уравнения, либо получаем графики, симметричные относительно оси ординат. Положим поэтому, например, что b>0, a<0. При этом первое и третье уравнения будут иметь два положительных корня, а второе – два корня разных знаков, причем отрицательный корень будет большим по абсолютной величине. Поскольку второе уравнение имеет отрицательный корень, то корни третьего уравнения ограничены слева этим корнем второго уравнения (можно показать, что и положительный корень второго уравнения меньше корней третьего уравнения). Остается доказать, что один из корней третьего уравнения ограничен сверху корнями первого уравнения. Сравним меньший (положительный) корень третьего уравнения с корнями первого уравнения (они оба тоже положительны), выразив их через параметры по формулам корней квадратного уравнения:

-a- (-a )/2,

-a 2 .

Обе части неравенства положительны. Возведем неравенство почленно в квадрат. Получим

a² 4a²-8b 4 +a²-4b,

0 a²-3b .

Отсюда видно, что знак неравенства – знак `<', т. е. меньший корень третьего уравнения меньше корней первого уравнения, а поскольку он больше корней второго уравнения, то требуемое доказано. 2-й способ. Рассмотрим графики левых частей наших трех уравнений. Легко видеть, что все три параболы пересекаются в одной и той же точке с координатами ((-b)/a,b²/a²) и других точек пересечения не имеют. Поскольку абсциссы вершин первой и второй парабол симметричны относительно оси ординат ((-b)/a и a/2), то эти параболы пересекают ось абсцисс по разные стороны по отношению к точке их пересечения, расположенной над осью абсцисс. Поэтому оба корня первого уравнения больше обоих корней второго уравнения (при ранее выбранных знаках параметров a и b). Кроме того, третья парабола пересечет ось абсцисс между точками пересечения с осью абсцисс первых двух парабол, ибо в противном случае третья парабола должна иметь еще одну точку пересечения с остальными параболами (рис.). Для других комбинаций знаков параметров a и b получим аналогичные чертежи.

32. Автор: И.Ф.Шарыгин

Если для чисел p ₁, p ₂, q ₁ и q ₂ выполнено неравенство

(q ₁ – q ₂)² + (p ₁ – p ₂)(p ₁ q ₂ – p ₂ q ₁) < 0,

то квадратные трёхчлены x ² + p ₁ x + q ₁ и x ² + p ₂ x + q ₂ имеют вещественные корни, причём между двумя корнями каждого из них лежит корень другого.

33. Найти все действительные решения уравнения

x ² + 2 x sin(xy) + 1 = 0.