Уравнение Шрёдингера

Студент _________________ направляется для прохождения (указать вид) практики в ___________________________________________________

Наименование организации

с «____» ____________ 200__ г. по «___»___________ 200__ г.

Содержание выполняемых работ по программе	Сроки выполнения	Заключение и оценка руководителя от организации	Подпись руководителя от организации
начало	окончание

Согласовано:

__________________________

должность руководителя подразделения, где проводится практика

__________________________ и.о. фамилия

___________

дата

Студент – практикант

__________________________ и.о. фамилия

подпись

Руководитель от кафедры

__________________________ и.о. фамилия

подпись

Руководитель от организации

__________________________ и.о. фамилия

подпись

__________

Дата

Уравнение Шрёдингера

 

2.1. Нормировочный множитель Ψ-функции

[1 балл]

1) ψ-Функция некоторой частицы имеет вид , где r – расстояние этой частицы до силового центра; a = 0,1 нм. Используя условие нормировки вероятностей, определить нормировочный коэффициент A. [1 балл] Ответ = 4·10⁴ м^–1/2

2) Используя условие нормировки вероятностей, определить нормировочный коэффициент A волновой функции , описывающей основное состояние электрона в атоме водорода, где r – расстояние электрона от ядра; a = 53 пм (первый боровский радиус). [1 балл] Ответ =1.46·10¹⁵ м^-3/2

3) ψ-Функция некоторой частицы имеет вид , где r – расстояние этой частицы до силового центра; a = 1 пм. Используя условие нормировки вероятностей, определить нормировочный коэффициент A. [1 балл] Ответ =3,26·10¹⁹ м^-5/2

4) ψ-Функция некоторой частицы имеет вид , где r – расстояние этой частицы до силового центра; a = 1 нм. Используя условие нормировки вероятностей, определить нормировочный коэффициент A. [1 балл] Ответ =5,64·10⁸м^-1

5) ψ-Функция некоторой частицы имеет вид , где r – расстояние этой частицы до силового центра; a = 0,2 нм. Используя условие нормировки вероятностей, определить нормировочный коэффициент [1 балл] Ответ A. =1,15·10¹⁹ м^-2

6) ψ-Функция некоторой частицы имеет вид , где r – расстояние этой частицы до силового центра; a = 10¹⁰ м^-1. Используя условие нормировки вероятностей, определить нормировочный коэффициент A. [1 балл] Ответ =4·10⁴ м^-1/2

7) ψ-Функция некоторой частицы имеет вид , где r – расстояние этой частицы до силового центра; a = 10⁸ м^-1. Используя условие нормировки вероятностей, определить нормировочный коэффициент A. [1 балл] Ответ = 56,4·10¹⁰ м^-3/2

8) ψ-Функция некоторой частицы имеет вид , где r – расстояние этой частицы до силового центра; a = 10⁸ м^-1 Используя условие нормировки вероятностей, определить нормировочный коэффициент A. [1 балл] Ответ =3,26·10¹⁹ м^-5/2

9) ψ-Функция некоторой частицы имеет вид , где r – расстояние этой частицы до силового центра; a = 10¹⁰ м^-1. Используя условие нормировки вероятностей, определить нормировочный коэффициент A. [1 балл] Ответ = 4·10⁴ м^-1/2

10) ψ-Функция некоторой частицы имеет вид , где r – расстояние этой частицы до силового центра; a = 2·10¹⁰ м^-1. Используя условие нормировки вероятностей, определить нормировочный коэффициент A. [1 балл] Ответ =1,84·10²⁰ м^-2

11) ψ-Функция некоторой частицы имеет вид , где r – расстояние этой частицы до силового центра; a = 0,1 нм. Используя условие нормировки вероятностей, определить нормировочный коэффициент A. [1 балл] Ответ =7,9·10¹⁹ м^-2

12) Используя условие нормировки вероятностей, определить нормировочный коэффициент A волновой функции , описывающей поведение некоторой частицы, где r – расстояние этой частицы до силового центра; a = 0,1 нм. [1 балл] Ответ =4,2·10¹⁴ м^-3/2

13) ψ-Функция некоторой частицы имеет вид , где r – расстояние этой частицы до силового центра; a = 10¹⁰ м^-1. Используя условие нормировки вероятностей, определить нормировочный коэффициент A. [1 балл] Ответ =7,9·10¹⁹ м^-2

14) ψ-Функция некоторой частицы имеет вид , где r – расстояние этой частицы до силового центра; a = 0,1 нм^-2. Используя условие нормировки вероятностей, определить нормировочный коэффициент A. [1 балл] Ответ =4,0·10¹² м^-3/2

15) Волновая функция определена в области 0≤ x ≤ ℓ. Используя это условие нормировки, определить нормировочный множитель A, если ℓ; =0,5 нм. [1 балл] Ответ =6,3·10⁴ м^-1/2

 

2.2. Вероятность и средние значения параметров

[2 балла]

1) ψ-Функция некоторой частицы имеет вид , где r – расстояние этой частицы до силового центра; a = 0,1 нм. Определить среднее расстояние ‹r› частицы до силового центра. [2 балла] Ответ: = 0,05 нм

2) Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной ℓ; с бесконечно высокими «стенками» находится в основном состоянии. Определить вероятность обнаружения частицы в левой трети «ямы». [2 балла] Ответ: 0,195

3) Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной ℓ; с бесконечно высокими «стенками» находится в возбужденном состоянии (n = 2). Определить вероятность обнаружения частицы в области [2 балла] Ответ: 0,091

4) Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид , где r – расстояние этой частицы до силового центра; a = 1 нм. Определить среднее расстояние ‹r› частицы до силового центра. [2 балла] Ответ: = 1,13 нм

5) Электрон находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной ℓ; с бесконечно высокими «стенками». Определить вероятность обнаружения электрона в средней трети «ямы», если электрон находится в возбужденном состоянии (n = 3). [2 балла] Ответ: 0,33

6) В одномерном «потенциальном ящике» шириной ℓ; находится электрон. Вычислить вероятность нахождения электрона на первом энергетическом уровне в интервале ¼ ℓ;, равноудаленном от стенок «ящика». [2 балла] Ответ: 0,475

7) Волновая функция, описывающая основное состояние электрона в атоме водорода, имеет вид , где r – расстояние электрона от ядра; a = 53 пм (первый боровский радиус). Определить среднее значение квадрата расстояния ‹r²› электрона до ядра в основном состоянии. [2 балла] Ответ: = 8427 пм²

8) Электрон находится в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной ℓ; с бесконечно высокими «стенками». Определить вероятность обнаружения электрона в средней трети «ямы», если электрон находится в возбужденном состоянии (n = 2). [2 балла] Ответ: 0,195

9) В одномерном «потенциальном ящике» шириной ℓ; находится электрон. Вычислить вероятность нахождения электрона на низшем возбужденном энергетическом уровне в интервале ¼ ℓ;, равноудаленном от стенок «ящика». [2 балла] Ответ: 0,091

10) Вычислить отношение вероятностей W₁/W₂ нахождения электрона на первом и втором энергетических уровнях в интервале ¼ ℓ;, равноудаленном от стенок одномерной «потенциальной ямы» шириной ℓ;. [2 балла] Ответ: 5,22

11) Волновая функция, описывающая некоторую частицу, имеет вид , где r – расстояние этой частицы до силового центра; a =100 пм. Определить среднее значение квадрата расстояния ‹r²› частицы до силового центра. [2 балла] Ответ: = 2500 пм²

12) Частица в одномерной прямоугольной «потенциальной яме» шириной ℓ; с бесконечно высокими «стенками» находится в основном состоянии. Определить вероятность обнаружения частицы в средней трети «ямы». [2 балла] Ответ: 0,609

13) В одномерном «потенциальном ящике» шириной ℓ; находится электрон. Вычислить вероятность нахождения электрона на низшем возбужденном энергетическом уровне в интервале от 0 до ¼ ℓ;. [2 балла] Ответ: 0,25

14) Электрон находится в одномерном «потенциальном ящике» шириной ℓ;=10 нм. Определить среднее значение координаты ‹x› электрона (0<x< ℓ;) [2 балла] Ответ: 5 нм

15) В одномерной «потенциальной яме» шириной ℓ; находится электрон в возбужденном состоянии (n =4). Вычислить вероятность нахождения электрона в первой четверти «ямы». [2 балла] Ответ: 0,25

 

2.3. Одномерная прямоугольная яма

[1 балл]

1) Частица находится в потенциаль­ном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней D E_{n +1, n} к энергии Е_n частицы в случае n = 5. [1 балл] Ответ: 0,44.

2) Электрон находится в потенциальном ящике. Определить ширину l потенциальной ямы, если разность D E _5,4 между пятым и четвертым энергетическими уровнями электрона составляет 2 эВ. [1 балл] Ответ: 1,3 нм.

3) Частица находится в потенциаль­ном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней D E_{n +1, n} к энергии Е_n частицы в случае п → ∞. [1 балл] Ответ: 0.

4) Частица в потенциальном ящике шириной l находится в возбужденном состоянии (n = 2). Определить, в каких точках ин­тервала (0< x < l) плотность вероятности ω нахождения час­тицы максимальна. Ответ выразить в долях l. [1 балл] Ответ: x = 0,25 и 0,75.

5) Электрон находится в потенциальном ящике шириной l = 0,6 нм. Определить разность D E _3,2 между третьим и вторым энергетическими уровнями электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах. [1 балл] Ответ: 5,19 эВ.

6) Электрон находится в потенциальном ящике шириной l = 1 нм в возбужденном состоянии (n = 3). Вычислить плотность вероятности ω в центре ящика. [1 балл] Ответ: 2 нм^{­ ‑1}.

7) Электрон находится в потенциальном ящике шириной l = 0,5 нм. Определить наименьшую разность D E энергетических уровней электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах. [1 балл] Ответ: 4,48 эВ.

8) Электрон находится в потенциальном ящике шириной l = 0,4 нм в возбужденном состоянии (n = 4). Вычислить плотность вероятности ω в центре ящика. [1 балл] Ответ: 0.

9) Частица находится в потенциаль­ном ящике. Найти отношение разности соседних энергетических уровней D E_{n +1, n} к энергии Е_n частицы в случае n = 13. [1 балл] Ответ: 0,16.

10) Электрон находится в потенциальном ящике. Определить ширину l потенциальной ямы, если разность D E _6,5 между шестым и пятым энергетическими уровнями электрона составляет 1 эВ. [1 балл] Ответ: 2 нм.

11) Частица в потенциальном ящике шириной l находится в возбужденном состоянии (n = 2). Определить, в каких точках ин­тервала (0< x < l) плотность вероятности ω нахождения частицы минимальна. Ответ выразить в долях l. [1 балл] Ответ: x = 0,5.

12) Электрон находится в потенциальном ящике шириной l = 0,3 нм. Определить разность D E _3,2 между четвертым и третьим энергетическими уровнями электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах. [1 балл] Ответ: 29 эВ.

13) Электрон находится в потенциальном ящике шириной l = 1 нм в возбужденном состоянии (n = 4). Вычислить плотность вероятности ω в точке x = . [1 балл] Ответ: 1,5 нм ^‑1.

14) Электрон находится в потенциальном ящике шириной l = 1,5 нм. Определить наименьшую разность D E энергетических уровней электрона. Ответ выразить в электрон-вольтах. [1 балл] Ответ: 0,5 эВ.

15) Электрон находится в потенциальном ящике шириной l = 0,8 нм в возбужденном состоянии (n = 5). Вычислить плотность вероятности ω в точке x = . [1 балл] Ответ: 0.

 

2.4. Многомерная яма

[3 балла]

1) Электрон находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме размерами 0,5×0,5 нм с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти энергию первого вырожденного уровня в эВ. [3 балла] Ответ: 7,5 эВ.

2) Электрон находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме размерами 0,3×0,3 нм с абсолютно непроницаемыми стенками. Какую энергию в эВ должен получить электрон, чтобы перейти с первого уровня на третий. [3 балла] Ответ: 25 эВ.

3) Электрон находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме размерами 0,2×0,4 нм с абсолютно непроницаемыми стенками на третьем энергетическом уровне. Найти плотность вероятности w нахождения электрона в точке с координатами (0,15 нм; 0,05 нм). [3 балла]

Ответ: 21 нм^-2.

4) Электрон находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме размерами 0,3×0,6 нм с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти энергию четвертого уровня в эВ. [3 балла] Ответ: 17,8 эВ.

5) Электрон находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме размерами 1×1 нм с абсолютно непроницаемыми стенками. Какую энергию в эВ должен получить электрон, чтобы перейти с первого уровня на третий. [3 балла] Ответ: 2,26 эВ.

6) Электрон находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме размерами 1×2 нм с абсолютно непроницаемыми стенками на втором энергетическом уровне. Найти плотность вероятности w нахождения электрона в точке с координатами (0,25 нм; 0,5 нм). [3 балла]

Ответ: 1,0 нм^-2.

7) Электрон находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме размерами 0,5×0,5 нм с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти энергию второго вырожденного уровня в эВ. [3 балла] Ответ: 15 эВ.

8) Электрон находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме размерами 1×2 нм с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти энергию четвертого уровня в эВ. [3 балла] Ответ: 1,6 эВ.

9) Электрон находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме размерами 1,2×1,2 нм с абсолютно непроницаемыми стенками на третьем энергетическом уровне. Найти плотность вероятности w нахождения электрона в точке с координатами (0,4 нм; 0,4 нм). [3 балла]

Ответ: 1,56 нм^-2.

10) Электрон находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме размерами 1,5×1,5 нм с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти энергию первого вырожденного уровня в эВ. [3 балла] Ответ: 0,84 эВ.

11) Электрон находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме размерами 1×2 нм с абсолютно непроницаемыми стенками. Какую энергию в эВ должен получить электрон, чтобы перейти с первого уровня на третий. [3 балла] Ответ: 0,753 эВ.

12) Электрон находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме размерами 0,6×0,6 нм с абсолютно непроницаемыми стенками на третьем энергетическом уровне. Найти плотность вероятности w нахождения электрона в точке с координатами (0,2 нм; 0,4 нм). [3 балла]

Ответ: 6,25 нм^-2.

13) Электрон находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме размерами 0,4×0,8 нм с абсолютно непроницаемыми стенками. Какую энергию в эВ должен получить электрон, чтобы перейти с первого уровня на третий. [3 балла] Ответ: 4,7 эВ.

14) Электрон находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме размерами 1,5×1,5 нм с абсолютно непроницаемыми стенками. Найти энергию второго вырожденного уровня в эВ. [3 балла] Ответ: 1,67 эВ.

15) Электрон находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме размерами 1,2×0,6 нм с абсолютно непроницаемыми стенками на четвертом энергетическом уровне. Найти плотность вероятности w нахождения электрона в точке с координатами (0,4 нм; 0,4 нм). [3 балла]

Ответ: 3,13 нм^-2.

 

2.5. Барьер

[2 балла]

1) Электрон обладает энергией E = 16 эВ. Определить, во сколько раз уменьшится его скорость n при прохождении через потенциальный барьер (см. рис.) высотой U = 12 эВ. [2 балла]

Ответ: 2.

2) Электрон обладает энергией E = 18 эВ. Определить, во сколько раз увеличится его длина волны де Бройля l при прохождении через потенциальный барьер (см. рис.) высотой U = 16 эВ. [2 балла]

Ответ: 3.

3) Определить коэффициент пре­ломления n волн де Бройля для протонов на границе потенциальной ступени (см. рис.). Кинетическая энергия E протонов равна 10 эВ, а высота U потенциальной ступени равна 8 эВ. [2 балла]

Ответ: 1,34.

4) Кинетическая энергия E электрона в три раза превышает высоту U потенциального барьера. Определить коэффициент отражения r электронов на границе барьера. [2 балла] Ответ: 0,023, где k = E / U.

5) Вычислить коэффициент прохождения t электрона с энер­гией E = 81 эВ через потенциальный барьер высотой U = 80,75 эВ. [2 балла] Ответ: 0,2.

6) Коэффициент преломления n волн де Бройля для протонов на границе барьера равен 0,3. Определить коэффициент прохождения t. [2 балла] Ответ: 0,71.

7) При какой ширине d прямоугольного потенциального барьера коэффициент прозрачности D для электронов равен 0,02? Разность энергий U – Е = 5 эВ. [2 балла] Ответ: 0,17 нм.

8) Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов Dj = 20 кВ. Во сколько раз коэффициент прозрачности D_e для электрона больше коэффициента прозрачности D_p для протона, если высота U барьера равна 25 кэВ и ширина d = 0,l пм? [2 балла] Ответ: 21.

9) Электрон обладает энергией E = 25 эВ. Определить, во сколько раз увеличится его скорость n при прохождении границы потенциальной ступени (см. рис.) высотой U = 9 эВ. [2 балла]

Ответ: 1,25.

10) Электрон обладает энергией E = 9 эВ. Определить, во сколько раз уменьшится его длина волны де Бройля l при прохождении при прохождении границы потенциальной ступени (см. рис.) высотой U = 5 эВ. [2 балла]

Ответ: 1,5.

11) Определить коэффициент преломления n волн де Бройля для протонов на границе потенциальной ступени (см. рис.). Кинетическая энергия E протонов равна 4 эВ, а высота U потенциальной ступени равна 3 эВ. [2 балла]

Ответ: 0,5.

12) Кинетическая энергия E электрона в четыре раза превышает высоту U потенциального барьера. Определить коэффициент отражения r электронов на границе барьера. [2 балла] Ответ: 0,013, где k = E / U.

13) Вычислить коэффициент прохождения t электрона с энер­гией E = 50 эВ через потенциальный барьер высотой U = 49,2 эВ. [2 балла] Ответ: 0,4.

14) Коэффициент преломления n волн де Бройля для протонов на границе барьера равен 0,25. Определить коэффициент прохождения t. [2 балла] Ответ: 0,64.

15) Протон и электрон прошли одинаковую ускоряющую разность потенциалов Dj = 13,5 кВ. Во сколько раз коэффициент прозрачности D_e для электрона больше коэффициента прозрачности D_p для протона, если высота U барьера равна 15 кэВ и ширина d = 0,2 пм? [2 балла] Ответ: 28.